Simple Mass System MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Simple Mass System - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

लचीला शाफ्ट

• एक लचीला शाफ्ट एक प्रकार का यांत्रिक घटक है जिसे विशेष रूप से दो बिंदुओं के बीच घूर्णी गति और टॉर्क को कुशलतापूर्वक संचारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो पूरी तरह से संरेखित नहीं हो सकते हैं। इसमें एक लचीला कोर होता है जो इसे झुकने और मुड़ने की अनुमति देता है, जिससे यह उन अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त होता है जहाँ कठोर शाफ्ट का उपयोग करना अव्यावहारिक या असंभव होगा।
• लचीला शाफ्ट कसकर घुमाए गए कुंडलित कुंडलियों की एक श्रृंखला से बना होता है, जो टॉर्क को संचारित करने के लिए आवश्यक लचीलापन और मजबूती प्रदान करते हैं। ये कुंडल शाफ्ट को झुकने और संरेखण में परिवर्तन के अनुकूल होने की अनुमति देते हैं जबकि इसके घूमने की क्षमता को बनाए रखते हैं। डिज़ाइन कम झुकने वाली कठोरता सुनिश्चित करता है जबकि अपेक्षाकृत उच्च मरोड़ कठोरता को बनाए रखता है, जिससे शाफ्ट टॉर्क संचरण के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना मुड़ सकता है।

लाभ:

• बाधाओं के आसपास या सीमित स्थानों में गति और टॉर्क संचारित करने की क्षमता।
• कठोर शाफ्ट की तुलना में हल्का और कॉम्पैक्ट डिज़ाइन।
• झुकने में लचीला होने के साथ उच्च मरोड़ शक्ति।
• घटकों के सटीक संरेखण की आवश्यकता को कम करता है।

नुकसान:

• अत्यधिक उच्च टॉर्क या झुकने वाले भार की आवश्यकता वाले अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है।
• लगातार झुकने और मुड़ने के कारण समय के साथ घिसाव और आंसू का अनुभव हो सकता है।
• कठोर शाफ्ट की तुलना में लंबाई और भार वहन क्षमता में सीमित।

अनुप्रयोग: लचीले शाफ्ट आमतौर पर बिजली उपकरण, ऑटोमोटिव स्पीडोमीटर, दंत उपकरण और विभिन्न औद्योगिक मशीनों जैसे अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं जहाँ गति को लचीले और अनुकूलनीय तरीके से संचारित करने की आवश्यकता होती है।

स्पष्टीकरण:

स्प्रिंग द्रव्यमान प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति निम्न द्वारा दी जाती है,

\(f_n = \frac {\omega_n}{2\pi}\)   and  \(\omega_n = \sqrt {\frac km}\)

जहाँ k = स्प्रिंग दृढ़ता और m = द्रव्यमान 

यदि स्प्रिंग दृढ़ता को आधा और द्रव्यमान को दोगुना किया

तो प्राकृतिक आवृत्ति निम्न द्वारा दी जाती है

\(\omega_n' = \sqrt {\frac {0.5k}{2m}}\)

\(\omega_n'= \sqrt {\frac {k}{4m}}\)

\(\omega_n'= \frac 12 \sqrt {\frac {k}{m}}\)

\(\omega_n'=\frac {w_n}{2} \)

\(f_n' = \frac {f_n}{2}\)

इस प्रकार,प्राकृतिक आवृत्ति आधी हो जाएगी।

संकल्पना:

सरल आवर्त गति में, हमारे पास निम्न है

समयावधि, \(T = 2π \sqrt {\frac{m}{k}}\)

जहाँ, T = दोलन की समयावधि, m = ब्लॉक का द्रव्यमान, k = स्प्रिंग स्थिरांक। 

गणना:

दिया गया है:

हमारे पास निम्न हैं, m = 4 kg, k = 64 N/m

चूँकि, \(T = 2π \sqrt {\frac{m}{k}}\) को दिए गए मानों में रखा गया है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(T = 2π \sqrt {\frac{4}{{64}}} \)

T = π/2

अतः परिणामी गति की अवधि सेकेंड में T = π/2 है।

संकल्पना:

द्रव्यमानरहित दृढ रॉड को एक छोटे कोण 'θ' पर ले जाने के बाद डी 'एलेंबर्ट के सिद्धांत का उपयोग प्राकृतिक आवृत्ति की गणना करने के लिए किया जाता है:

\(\Delta T=-I\alpha\)

गणना:

दिया हुआ:

k = 400 N/m, m = 1 kg

\(\Delta T=-I\alpha\)

\(m(2r)^2\ddot{θ} \times 2r + k (r)θ (r) = 0\)

\(\therefore \ m (4r^2) \ddot{θ} + k(r^2)\theta=0\)

\(\therefore \ \ddot{θ} + \frac{k(r^2)}{m(4r^2)} θ = 0\)

मानक समीकरण के साथ तुलना:

\(\ddot{θ} + \omega_n^2 θ = 0\)

\(\therefore \omega _n^2 = \frac{k}{{4m}}\)

\(\therefore \omega _n^2 = \frac{{400}}{{4 \times 1}}\)

\(\therefore {\omega _n} = \sqrt {\frac{{400}}{4}} \;rad/s\)

व्याख्या:

स्प्रिंग द्रव्यमान प्रणाली:

स्थिति 1: स्प्रिंग का द्रव्यमान नगण्य है

t = t₀ पर, प्रणाली की ऊर्जा होगी

\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2}\)

ऊर्जा संरक्षण प्रमेय के अनुसार:

\(\frac{{dE}}{{dt}} = 0\)

\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}}\;} \right) + \frac{1}{2}\left( {m \times 2 v \frac{{dv}}{{dt}}} \right)\)

\(kxv + mv\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0\;\)

\(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + kx = 0\)

इसे प्राकृतिक कंपन समीकरण से तुलना करने पर हमें मिलता है,

\({\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}} \)

स्थिति 2: स्प्रिंग का भी द्रव्यमान है

मान लीजिये स्प्रिंग का द्रव्यमान m_s है

\({\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{m_s}}}{l}dy} \right){\left( {\frac{v}{l}y} \right)^2}\)

\({\left( {KE} \right)_{spring}} = \frac{1}{6}{m_s}{v^2}\)

t = t₀ पर, प्रणाली की ऊर्जा होगी

\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{6}{m_s}{v^2}\)

\(E = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right){v^2}\)

ऊर्जा संरक्षण प्रमेय के अनुसार:

\(\frac{{dE}}{{dt}} = 0\)

\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {k \times 2x\frac{{dx}}{{dt}}\;} \right) + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right) \times 2v\frac{{dv}}{{dt}}\)

\(kxv + \left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)v\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = 0\)

\(\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)\frac{{{d^{2x}}}}{{d{t^2}}} + kx = 0\)

इसे प्राकृतिक कंपन समीकरण से तुलना करने पर हमें मिलता है,

\({\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{{\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)}}} \)

अर्थात, जब प्राकृतिक आवृत्ति की गणना के लिए स्प्रिंग के द्रव्यमान को भी माना जाता है, तो स्प्रिंग-द्रव्यमान का 1/3 मुख्य द्रव्यमान में जोड़ा जाता है।

अवधारणा:

प्राकृतिक आवृत्ति की गणना भी निम्न सूत्र द्वारा की जाती है।

\({f _n} = \frac{1}{2\pi}\sqrt {\frac{g}{{\rm{\Delta }}}} \)

दिया गया है:

विक्षेपण (Δ) = 100 mm

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s2

अब प्राकृतिक आवृत्ति की गणना करने के लिए हम सूत्र का उपयोग इस प्रकार कर रहे हैं:

\({f _n} = \frac{1}{2\pi}\sqrt {\frac{g}{{\rm{\Delta }}}} \)

\({f _n} = \frac{1}{2\pi}\sqrt {\frac{10}{10\times10^{-3}}} =1.6~ \rm{Hz}\)

वर्णन:

माना कि,

S = स्प्रिंग की कठोरता, ms = स्प्रिंग का द्रव्यमान,m = प्रणाली का द्रव्यमान ,V = द्रव्यमान को दिया गया वेग

निर्दिष्ट बिंदु से दूरी 'y' पर लम्बाई dy और द्रव्यमान dm वाले एक तत्व को लीजिए। चूँकि वेग की भिन्नता स्प्रिंग की लम्बाई के साथ रैखिक होती है, इसलिए एक तत्व 'y' के वेग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है,

\(\dot y=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \frac{\text{V}}{\text{L}} \right)\text{y}\)

\(Mass~of~element\left( dm \right)=~\left( \frac{Mass~of~spring}{Length~of~spring} \right)\times Length~of~element\)

\(dm=\left( \frac{{{m}_{s}}}{L} \right)~dy\)

\(Kinetic~enegy~of~element=~\frac{1}{2}~dm~{{(\dot{y})}^{2}}\)

\(d{{E}_{S}}~=~\frac{1}{2}~\left( \frac{{{m}_{s}}}{L}dy \right)~{{\left( \frac{V}{L}y \right)}^{2}}\)

\(d{{E}_{S}}=~\frac{1}{2}~\left( \frac{{{m}_{s}}}{L} \right)~{{\left( \frac{V}{L}y \right)}^{2}}dy\)

\(Total~kinetic~energy~of~spring=~\int \frac{1}{2}~\left( \frac{{{m}_{s}}}{L} \right)~{{\left( \frac{V}{L}y \right)}^{2}}dy\)

\(Kinetic~energy~of~spring=~\frac{1}{2}~~\left( \frac{{{m}_{s}}}{3} \right){{V}^{2}}\)

अब कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति

\(E=\frac{1}{2}~S{{x}^{2}}+\frac{1}{2}m{{V}^{2}}+\frac{1}{2}~~\left( \frac{{{m}_{s}}}{3} \right){{V}^{2}}\)

\(E=\frac{1}{2}~S{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\left( m+\frac{{{m}_{s}}}{3}~ \right){{V}^{2}}~\)

\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{1}{2}S \times 2x \times \frac{{dx}}{{dt}} + \frac{1}{2}\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right) \times 2V \times \frac{{dV}}{{dt}}\)

\(\left( {m + \frac{{{m_s}}}{3}} \right)\ddot x + Sx = 0\)

\(~{{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{S}{m+\frac{{{m}_{s}}}{3}}}\)

संप्रत्यय

• जैसे ही ब्लॉक गति करता है, ब्लॉक की गतिज ऊर्जा घटती है और स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है
• चरम बिंदु पर ब्लॉक की कुल गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है \(\frac{1}{2} mv^{2} \) = \(\frac{1}{2}kx^{2}\)​

गणना:

दिया गया है:

K = 360N/m, m=10 Kg, V = 6m/s

\(\frac{1}{2} mv^{2}\) = \(\frac{1}{2}kx^{2}\)

\( 10\times6^{2}\) = \( 360\times x^{2}\)

x = 1m

अवधारणा:

जब निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति बाह्य प्रेरक आवृत्ति के साथ मेल खाती है, तो इसे अनुनाद कहा जाता है, अर्थात्, ω = ω_n

किसी दिए गए स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति है:

\(M\ddot x + kx = F\cos \left( {\omega t} \right)\)

\(\omega={\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{M}} \)