Resolution of vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Resolution of vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम: इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इसमें कहा गया है कि "यदि एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो बलों को समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, तो उनके परिणामी को समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है जो उस उभयनिष्ठ बिंदु से गुजरता है।"

यदि F₁ और F₂ दो सदिश हैं जो उनके बीच के कोण θ वाले समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं द्वारा दर्शाए गए हैं, तो परिणामी सदिश R इस प्रकार दिया जाता है:

$\mathrm{R}=\sqrt{{\mathrm{F}}_1^2+{\mathrm{F}}_2^2+2{\mathrm{F}}_1{\mathrm{F}}_2\cos \theta }$

गणना​:

माना F बल है।

जब उनके बीच का कोण β है। 

∴ परिणामी  ${\mathrm{R}}_2=\sqrt{{\mathrm{F}}^2+{\mathrm{F}}^2+2{\mathrm{F}}^2\cos \beta }$

प्रश्न के अनुसार:

$R_2=2R_1$

$\Rightarrow R_2^2=4R_1^2$

$\Rightarrow 2{\mathrm{F}}^2+2{\mathrm{F}}^2\cos \beta =8{\mathrm{F}}^2+8{\mathrm{F}}^2\cos \alpha$

$\Rightarrow 2{\mathrm{F}}^2(1+\cos \beta )=4\times 2{\mathrm{F}}^2(1+\cos \alpha )$

$\Rightarrow (1+\cos \beta )=4(1+\cos \alpha )$

$\Rightarrow 2{\cos }^2(\beta /2)=4\times 2{\cos }^2(\alpha /2)$

$\Rightarrow \cos (\beta /2)=2\cos (\alpha /2)$.

संकल्पना:

यदि A और B एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो बलों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो कोण θ बनाते हैं, तो उनका परिणामी निम्न द्वारा दिया जाता है:

$R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos \theta }$

• $R_{max}=A+B$
• $R_{min}=A-B$

गणना​:

मान लीजिए कि A और B अभीष्ट बल हैं।

प्रश्न के अनुसार, दो बलों के परिणामी का अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः 40 इकाई और 20 इकाई है।

∴ R_max = A + B = 40...(i) और

R_min = A - B = 20...(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं:

2A = 60

⇒ A = 30 इकाई

⇒ B = 40 - A = 40 - 30 = 10 इकाई

∴ अभीष्ट बल 30, 10 इकाई हैं।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

विकल्प (4)

अवधारणा:

• घटकों में सदिश का विभेदन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

गणना:

पत्थर को जमीन के साथ ले जाने के लिए क्षैतिज घटक जिम्मेदार है।

 $\overrightarrow{F}=F_x=Fcos\theta$

F_x = 60cos60°  = 30 N

इसलिए, पत्थर को जमीन पर ले जाने की प्रवृत्ति का प्रभावी मान 30 N है।

विकल्प (1)

अवधारणा:

• सदिशों का विभेदन एक सदिश को दो या दो से अधिक सदिशों में इस प्रकार विभाजित करने की प्रक्रिया है कि उनका संयुक्त प्रभाव उसी सदिश के समान हो।
  • वे सदिश जिनमें दिए गए सदिश को विभाजित किया जाता है, सदिशों के घटक कहलाते हैं।

व्याख्या

• घटकों में सदिश का विभेदन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

यदि $\overrightarrow{A}$ के आयताकार घटक Ax, Ay, Az हैं और î,ĵ और k̂ क्रमश: X, Y, और Z के अनुरूप इकाई सदिश है

$\overrightarrow{A}$= Ax î+  Ayĵ + A zk̂ 

|$\overrightarrow{A}$| = $\sqrt{A_x^2+A{y}^2+A{z}^2}$ 

विकल्प (1)

अवधारणा:

• सदिशों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, इसलिए उन्हें बीजगणित के सामान्य नियमों का उपयोग करके नहीं जोड़ा जा सकता है।

  • योग के सदिश नियम द्वारा सदिशों को ज्यामितीय रूप से जोड़ा जा सकता है।

योग के सदिश नियम के अनुसार R = $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$

व्याख्या:

$\overrightarrow{A}$और $\overrightarrow{B}$ का परिणामी है-

योग के सदिश नियम के अनुसार

R= $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ जहाँ  $\overrightarrow{A}$= 3î -5ĵ +7k̂  और $\overrightarrow{B}$ = 2î +4ĵ-3k̂ मान रखने पर हम प्राप्त करते हैं

R=  (3î -5ĵ +7k̂ ) + (2î +4ĵ-3k̂) = -5î +2ĵ-4k̂ .............................(i)

Y अक्ष के अनुदिश इकाई सदिश = ĵ 

तो वांछित सदिश है

$\overrightarrow{X}$ = Ĵ - $\overrightarrow{R}$ ,  ĵ -(5î -ĵ +4k̂) जहाँ (R = 5î -ĵ +4k̂ ) = -5î + 2ĵ - 4k̂

इसलिए सदिश $\overrightarrow{X}$ का मान -5î +2ĵ -4k̂ होगा

अवधारणा:

• सदिशों का घटकों मे विभाजन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज के साथ कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

यहाँ $F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$

गणना:

यहाँ F₁ और F₂ X- और Y- दिशा के साथ हैं।

माना आरोपित बल F = 50

और आरोपित बल का x –घटक F_x = 30

आरोपित बल F_y का y- घटक = ?

हम जानते हैं कि बल का सदिश योग

$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$

$50N=\sqrt{{30}^2+F^2}$

अब दोनों तरफ से वर्ग करने पर

2500 = 900 + F2

$F_y=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}$

$F_y=40N$

तो विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

यदि A और B एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो बलों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो कोण θ बनाते हैं, तो उनका परिणामी निम्न द्वारा दिया जाता है:

$R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos \theta }$

• $R_{max}=A+B$
• $R_{min}=A-B$

गणना​:

मान लीजिए कि A और B अभीष्ट बल हैं।

प्रश्न के अनुसार, दो बलों के परिणामी का अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः 40 इकाई और 20 इकाई है।

∴ R_max = A + B = 40...(i) और

R_min = A - B = 20...(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं:

2A = 60

⇒ A = 30 इकाई

⇒ B = 40 - A = 40 - 30 = 10 इकाई

∴ अभीष्ट बल 30, 10 इकाई हैं।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

• सदिश का घटकों में विभाजन: हमारे पास एक सदिश(F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज के साथ कोण θ है।

सदिश के दो घटक हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक t Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

यहाँ $F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$

tanθ = F_y/F_x

गणना:

लागू बल का x-घटक Fx = 5 N

लागू बल का y-घटक Fy = 5 N

हम जानते हैं कि बल का सदिश योग होगा

$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$

$F=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$

Tan θ = Fy/Fx = 5/5 = 1

इसलिए दिशा (θ) = 45° = π/4

इसलिए विकल्प 2 सही है।

विकल्प (2)

अवधारणा:​

• घटकों में सदिश का विभेदन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

गणना:

दिया गया है:

Fx = 50N , θ = 60°

F_x = Fcosθ

$F=\frac{F_x}{cos\theta }=\frac{50}{0.5}=100N$

Fy = Fsinθ

F_y = 100 sin60° = 100 × $\frac{\surd 3}{2}$ = 50√3 N

Additional Information

• सदिश राशियाँ वे भौतिक राशियाँ होती हैं जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और योग के सदिश नियम का पालन करते हैं।
  • उदाहरण विस्थापन, वेग, बल, संवेग, आदि

अवधारणा:

• यदि दो सदिशों को a̅ और b̅ के रूप में माना जाता है, तो निर्मित किये गए डॉट (बिंदु गुणनफल) को  a̅. b̅ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
• दो सदिशों के बीच का कोण θ है।

• हम जानते हैं कि दो सदिश का बिंदु गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:

$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

• इस प्रकार, दो सदिश के बीच का कोण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$\theta =co{s}^{-1}\frac{a\cdot b}{|a||b|}$

जहाँ θ , a̅ और b̅ के बीच कोण है

गणना:

दिया गया है:

a̅ = 2i + 4j - k और b̅ = 4i -j + k

बिंदु गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:

a̅ ⋅ b̅ = (2i + 4j - k) ⋅ (4i -j + k) = (2) (4) + (4)(-1) + (-1)(1) = 8 - 4 -1 = 3

सदिश का परिमाण निम्न द्वारा दिया जाता है:

$|a|=\sqrt{(2^2+4^2+(-1{)}^2)}=\sqrt{21}=4.5$

$|b|=\sqrt{4^2+(-1{)}^2+(1{)}^2)}=\sqrt{18}=4.24$

दो सदिश के बीच का कोण है:

$\theta =co{s}^{-1}\frac{3}{(4.5)(4.24)}$

$\theta =co{s}^{-1}\frac{3}{18.9}$

$\theta =co{s}^{-1}0.16$

अतः विकल्प 4 उत्तर है।

अवधारणा:

• घटक: जब हम एक सदिश को इसके दो भागों X और Y अक्ष में तोड़ते हैं, तो इन भागों को सदिश के घटक कहा जाता है।
• यदि XY तल में एक सदिश दिया गया है, जो x यक्ष के साथ θ कोण बना रहा है, तब-
  • y अक्ष में इसका घटक = A sinθ
  • x अक्ष में इसका घटक = A cosθ

गणना:

दिया गया है:

θ = 30°, x-अक्ष के साथ कोण है, और सदिश बल F है।

y अक्ष में इसका घटक = F sinθ = F sin 30 = F/2

x अक्ष में इसका घटक = F cosθ = F cos 30 = $\frac{\sqrt{3}F}{2}$

• तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

विकल्प (1)

अवधारणा:

• सदिशों का विभेदन एक सदिश को दो या दो से अधिक सदिशों में इस प्रकार विभाजित करने की प्रक्रिया है कि उनका संयुक्त प्रभाव उसी सदिश के समान हो।
  • वे सदिश जिनमें दिए गए सदिश को विभाजित किया जाता है, सदिशों के घटक कहलाते हैं।

व्याख्या

• घटकों में सदिश का विभेदन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

यदि $\overrightarrow{A}$ के आयताकार घटक Ax, Ay, Az हैं और î,ĵ और k̂ क्रमश: X, Y, और Z के अनुरूप इकाई सदिश है

$\overrightarrow{A}$= Ax î+  Ayĵ + A zk̂ 

|$\overrightarrow{A}$| = $\sqrt{A_x^2+A{y}^2+A{z}^2}$ 

विकल्प (4)

अवधारणा:

• घटकों में सदिश का विभेदन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

गणना:

पत्थर को जमीन के साथ ले जाने के लिए क्षैतिज घटक जिम्मेदार है।

 $\overrightarrow{F}=F_x=Fcos\theta$

F_x = 60cos60°  = 30 N

इसलिए, पत्थर को जमीन पर ले जाने की प्रवृत्ति का प्रभावी मान 30 N है।

विकल्प(4)

अवधारणा:

• घटकों में सदिश का विभेदन: हमारे पास एक सदिश (F) है जहां सदिश का परिमाण F है और क्षैतिज कोण θ है।

सदिश के दो घटक होते हैं: 1. ऊर्ध्वाधर घटक और 2. क्षैतिज घटक

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ

गणना:

ऊर्ध्वाधर घटक (Fy) = F Sinθ

क्षैतिज घटक (Fx) = F Cosθ 

Additional Information

यदि $\overrightarrow{A}$आयताकार घटक Ax, Ay, Az हैं और î,ĵ और k̂ क्रमश: X, Y, और Z के अनुरूप इकाई सदिश है

$\overrightarrow{A}$= Ax î+  Ayĵ + A zk̂ 

|$\overrightarrow{A}$| = $\sqrt{A_x^2+A{y}^2+A{z}^2}$ 

सही उत्तर विकल्प 3 है) अर्थात 10√3 N, 10 N

अवधारणा:

• एक तल में सदिशों का वियोजन: यह दो या दो से अधिक सदिशों के रूप में एक सदिश को आलेखीय रूप से निरूपित करने की तकनीक है जिसका परिणामी मूल सदिश होता है।
  • सदिशों को नीचे दिखाए गए अनुसार क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों के साथ विभेदित किया जाता है।

गणना:

• प्रणाली का संतुलन तब प्राप्त होता है जब प्रणाली पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है अर्थात बलों के क्षैतिज घटक का योग शून्य होना चाहिए और बल के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग शून्य होना चाहिए।

⇒ ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0

इसलिए, संतुलन के लिए  A sin30^∘ = B और A cos30∘ = C

⇒ B = 20cos30∘ = 10√3 N

⇒ C = 20sin30∘ = 10 N