Relativity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relativity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

L = L₀ √(1 - v²/C²)

• विशिष्ट आपेक्षिकता में, v वेग से गतिमान वस्तु गति की दिशा में **लंबाई संकुचन** से गुजरती है।
• संकुचित लंबाई L सूत्र द्वारा दी जाती है:
• y-अक्ष के अनुदिश लंबाई घटक अपरिवर्तित रहता है।
• हम x और y के अनुदिश लंबाई घटकों को हल करते हैं और x-घटक पर लंबाई संकुचन लागू करते हैं।

गणना:

अपने विरामस्थ तंत्र में मीटर की छड़ की लंबाई, L₀ = 1 m

x-अक्ष के साथ कोण, θ = 45°

छड़ का वेग, v = (1/√2) C

प्रकाश की चाल, C

⇒ विरामस्थ तंत्र में लंबाई के घटक:

L₀ₓ = L₀ cos(θ) = 1 × cos 45° = 1/√2

L₀ᵧ = L₀ sin(θ) = 1 × sin 45° = 1/√2

⇒ x-दिशा में लंबाई संकुचन:

Lₓ = L₀ₓ √(1 - v²/C²)

⇒ Lₓ = (1/√2) √(1 - (1/2))

⇒ Lₓ = (1/√2) × (√1/√2) = 1/2

⇒ फ्रेम S में कुल लंबाई:

L = √(Lₓ² + L₀ᵧ²)

⇒ L = √((1/2)² + (1/√2)²)

⇒ L = √(1/4 + 1/2)

⇒ L = √(3/4)

⇒ L = √3 / 2

∴ फ्रेम S में छड़ की लंबाई √3/2 मीटर है।

हल:

इस हल में, प्राइमित राशियाँ (\( x_0, y_0 \)) गतिमान फ्रेम को संदर्भित करती हैं, जबकि अप्राइम्ड राशियाँ (\( x, y \)) स्थिर फ्रेम को संदर्भित करती हैं।

मान लीजिए \( x_0 - y_0 \) छड़ का स्थिर फ्रेम है, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है। अपने स्थिर फ्रेम में, छड़ \( x_0 \)-अक्ष के साथ \( \theta_0' \) कोण बनाती है। छड़ का निचला सिरा \( x_0 - y_0 \) फ्रेम के मूल पर है, जबकि ऊपरी सिरा पर है:

• \( x_0 = l_0 \cos \theta_0' \)
• \( y_0 = l_0 \sin \theta_0' \)

स्थिर फ्रेम (\( x - y \)) में, छड़ वेग \( v \) के साथ दाईं ओर गतिमान है। माप \( t = t_0 = 0 \) पर किए जाते हैं, जब दोनों फ्रेम के मूल संपाती होते हैं।

\( x - y \) फ्रेम में छड़ की स्थिति की गणना करने के लिए, पूर्ण लोरेंज रूपांतरणों का उपयोग करना आवश्यक है:

• \( x_0 = \gamma (x - vt) \)
• \( y_0 = y \)

चरण 1: छड़ का निचला सिरा

\( t = 0 \) पर, छड़ का निचला सिरा पर है:

• \( x_0 = \gamma (x - 0) \Rightarrow x = 0 \)
• \( y_0 = y \Rightarrow y = 0 \)

चरण 2: छड़ का ऊपरी सिरा

\( t = 0 \) पर, छड़ का ऊपरी सिरा पर है:

• \( x_0 = l_0 \cos \theta_0' = \gamma x \Rightarrow x = \frac{l_0 \cos \theta_0'}{\gamma} \)
• \( y_0 = l_0 \sin \theta_0' = y \Rightarrow y = l_0 \sin \theta_0' \)

चरण 3: छड़ का अभिविन्यास

\( x - y \) फ्रेम में छड़ का कोण \( \theta \) इस प्रकार दिया गया है:

\( \theta = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) = \arctan \left( \frac{\gamma l_0 \sin \theta_0'}{l_0 \cos \theta_0'} \right) = \arctan (\gamma \tan \theta_0') \)

\( v \to c \) के लिए, \( \gamma \to \infty \), इसलिए \( \theta \to \pi/2 \) है। 

चरण 4: छड़ की लंबाई

\( x - y \) फ्रेम में छड़ की लंबाई \( l \) है:

\( l = \sqrt{x^2 + y^2} = l_0 \sqrt{\frac{\cos^2 \theta_0'}{\gamma^2} + \sin^2 \theta_0'} \)

\( v \to c \) के लिए, \( \gamma \to \infty \), और:

\( l = l_0 \sin \theta_0' \)

सही विकल्प 3) है।

व्याख्या:

इसे हल करने के लिए, हम Tsiolkovsky रॉकेट समीकरण का उपयोग करते हैं जो है:

\(v_f - v_i = v_{\text{ex}} \ln \left( \frac{m_i}{m_f} \right)\)

जहाँ:

\(v_f : \text{ रॉकेट का अंतिम वेग है }\\ v_i: \text{ रॉकेट का प्रारंभिक वेग है (जो इस मामले में 0 है) }\\ v_{\text{ex}}: \text{ निकास वेग है }\\ m_i: \text{ रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान है }\\ m_f: \text{ रॉकेट का अंतिम द्रव्यमान है }\)

चूँकि रॉकेट विराम से शुरू होता है, \( v_i = 0 \), इसलिए समीकरण सरल हो जाता है:

\(v_f = v_{\text{ex}} \ln \left( \frac{m_i}{m_f} \right)\)

हमें दिया गया है कि रॉकेट का अंतिम वेग निकास गति का 2.0 गुना है, जिसका अर्थ है:

\(2 v_{\text{ex}} = v_{\text{ex}} \ln \left( \frac{m_i}{m_f} \right)\)

\(2 = \ln \left( \frac{m_i}{m_f} \right)\)

अब, \(\frac{m_i}{m_f}:\) को हल करने के लिए दोनों पक्षों को घातांकित करें:

\(e^2 = \frac{m_i}{m_f}\)

\(e^2 \approx 7.39\approx 7.4\)

इस प्रकार, विकल्प '3' सही है।

हल:

विशेष सापेक्षता में, वेग (v) से गतिमान किसी वस्तु का सापेक्षिक द्रव्यमान (m) निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\ \)

जहाँ, m₀ स्थिर द्रव्यमान है, v वस्तु का वेग है, और c प्रकाश की गति है।

दिया गया है:

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{(0.6c)^2}{c^2}}} \\m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.36}} \\ m = \frac{m_0}{\sqrt{0.64}} \\ m = \frac{m_0}{0.8} \\m = 1.25m_0\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

सही उत्तर गतिज ऊर्जा है।

• किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा होती है जो उसकी गति के कारण होती है।
• इसे किसी दिए गए पिण्ड के द्रव्यमान को विराम से उसके कथित वेग में त्वरित करने के लिए आवश्यक कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है।
• गतिज ऊर्जा को वस्तुओं के बीच स्थानांतरित किया जा सकता है और अन्य प्रकार की ऊर्जा में परिवर्तित किया जा सकता है।
• किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा की मात्रा दो चरों पर निर्भर करती है अर्थात् वस्तु का द्रव्यमान (m) और वस्तु की गति (v)।
• एक समतल सड़क पर दौड़ने वाले घोड़े के पास ऊर्जा का रूप गतिज-ऊर्जा है।

सही उत्तर इसका​ संवेग दोगुनी हो जाती है।

Key Points

• संवेग एक सदिश राशि है; इसमें परिमाण और दिशा दोनों हैं।
• आइजैक न्यूटन के गति के दूसरे नियम में कहा गया है कि संवेग के परिवर्तन की समय दर कण पर लागू होने वाले बल के बराबर है।
• संवेग की गणना किसी वस्तु के द्रव्यमान को उसके आगे के वेग से गुणा करके की जा सकती है । (mv = kg*m/s)।
• द्रव्यमान और वेग दोनों संवेग के अनुक्रमानुपाती होते हैं।
  • यदि आप या तो द्रव्यमान या वेग बढ़ाते हैं, तो वस्तु का संवेग आनुपातिक रूप से बढ़ता है।
  • यदि आप द्रव्यमान या वेग को दोगुना करते हैं, तो आप संवेग को दोगुना करते हैं।
  • यदि आप द्रव्यमान या वेग को रोकते हैं, तो आप संवेग को आधा कर देते हैं।
• न्यूटन के गति के नियम-
  • न्यूटन के पहले नियम में कहा गया है कि यदि कोई निकाय विश्रामावस्था में है या एक सीधी रेखा में स्थिर गति से आगे बढ़ रहा है, तो वह स्थिर रहेगा या जब तक उस पर बल नहीं होगा तब तक वह निरंतर गति से सीधी रेखा में गति करता रहेगा। इस स्थिति को जड़त्व के नियम के रूप में जाना जाता है।
  • न्यूटन का दूसरा नियम उन परिवर्तनों का एक मात्रात्मक वर्णन है जो एक निकाय की गति पर एक बल उत्पन्न कर सकता है। इसमें कहा गया है कि किसी पिंड के संवेग के परिवर्तन की समय दर उस पर लगाए गए बल के लिए परिमाण और दिशा दोनों में सामान होते है। किसी पिंड का संवेग उसके द्रव्यमान और उसके वेग के गुणनफल के बराबर होता है।
  • न्यूटन के तीसरे नियम में कहा गया है कि जब दो निकाय आपस में अंतःक्रिया करते हैं, तो वे एक दूसरे के बराबर परिमाण में और विपरीत दिशा में बलों को लागू करते हैं। तीसरे नियम को क्रिया और प्रतिक्रिया के नियम के रूप में भी जाना जाता है। यह नियम स्थिर संतुलन समस्याओं के विश्लेषण में महत्वपूर्ण है, जहां सभी बल संतुलित हैं, लेकिन यह समान या त्वरित गति वाले निकायों पर भी लागू होता है।

Important Points

• त्वरण, वह दर जिस पर चाल और दिशा दोनों के संदर्भ में समय के साथ वेग बदलता है। एक बिंदु या एक सीधी रेखा में गतिमान वस्तु त्वरित हो जाती है यदि उसकी चाल तेज या धीमी हो जाती है। चाल स्थिर होने पर भी वृत्त पर गति तेज होती है क्योंकि दिशा लगातार बदलती रहती है।
• गतिज ऊर्जा, ऊर्जा का एक रूप है जो किसी वस्तु या कण की गति के कारण होता है। यदि काम, जो ऊर्जा को स्थानांतरित करता है, एक वस्तु पर शुद्ध बल लगाने से होता है, तो वस्तु गति करती है और गतिज ऊर्जा प्राप्त करती है। गतिज ऊर्जा एक गतिशील वस्तु या कण का एक गुण है और न केवल इसकी गति पर बल्कि इसके द्रव्यमान पर भी निर्भर करती है।
• स्थितिज ऊर्जा, संग्रहीत ऊर्जा जो एक प्रणाली के विभिन्न भागों की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है। स्प्रिंग में अधिक स्थितिज ऊर्जा होती है जब इसे फैला हुआ की तुलना में संकुचित किया जाता है। एक स्टील की गेंद में पृथ्वी से गिरने के बाद जमीन से ऊपर उठने की अधिक स्थितिज ऊर्जा होती है।

सही उत्तर गोली चलाने से पहले से पहले गोली और बंदूक संवेग शून्य होगा ।

• गोली चलाने से पहले, बंदूक और गोली दोनों  विश्राम की स्थिति में होते हैं, इसलिए बंदूक और गोली के क्षणिक (एमवी) दोनों शून्य हैं।
• इसलिए, गोली चलाए जाने से पहले सिस्टम का कुल संवेग शून्य है। तो, विकल्प 1 सही है।

Important Points

• संवेग:
• यह एक गतिशील निकाय का गुण  है और इसे निकाय  के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
• SI इकाई  kgm/s है।

धारणा:

• सापेक्षता के विशेष सिद्धांत में ऐसे कई विशिष्ट विचार हैं जिसपर ध्यान दिया जाता है जो पूरी तरह से कुछ अभिधारणा या नियम के भौतिकी की हमारी समझ को बदल देते हैं जो निम्न हैं
• विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार: 

1. भौतिकी का नियम उन सभी प्रेक्षकों के लिए समान रहता है जो गैर-त्वरित होते हैं (अर्थात् गति में नहीं होते हैं)।
2. निर्वात में प्रकाश की गति प्रेक्षक की गति से पूर्ण रूप से स्वतंत्र होती है।
3. ऊर्जा का वहन करने वाले और द्रव्यमान वाले कोई भी कण प्रकाश की गति पर यात्रा नहीं कर सकते हैं।
4. और सबसे आश्चर्यजनक विचार यह है कि संदर्भ के प्रत्येक फ्रेम में समय की धारणा बदल जाएगी।

व्याख्या:

• सापेक्षता के विशेष सिद्धांत में कई अद्वितीय विचार हैं।
• प्रकाश की गति के बारे में एक है
  • निर्वात में प्रकाश की गति प्रेक्षक की गति से पूरी तरह से स्वतंत्र है।
  • इसका अर्थ है कि संदर्भ की सभी फ़्रेमों के लिए प्रकाश की गति हमेशा स्थिर रहेगी।
• तो, सही उत्तर विकल्प 2 होगा।

संकल्पना:

एक सापेक्षकीय कण एक कण है जो एक सापेक्षकीय गति; यानी प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ चलता है।

यहां गति प्रकाश के बराबर है, इसलिए हमें सापेक्षकीय दृष्टिकोण का पालन करना चाहिए

सापेक्षकीय दृष्टिकोण में, कुल ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

E = शेष ऊर्जा + K.E

\(E = m{c^2} + \left( {\gamma - 1} \right)m{c^2} = \gamma m{c^2}\)

जहां \(\gamma = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\)

गणना:

दिया गया कण इलेक्ट्रॉन है, इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान m = 9.11 × 10-31 kg, c = 3 × 108 m/s है

1 eV = 1.602 × 10-19 J

E = 2 MeV = 2 × 106 × 1.602 × 10-19 J = 3.204 × 10-13 J

अब उपरोक्त सूत्र से:

\(E = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}m{c^2} \)

\( 3.204 \times {10^{ - 13}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \times 9.11 \times {10^{ - 31}} \times {\left( {3 \times {{10}^8}} \right)^2}\)

\(\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} = 3.9078\)

\(\frac{v}{c} = 0.9667\)

v = 0.97 c

अगर हम सीधे KE = 0.5 mv² लेते हैं तो

\(3.204 \times {10^{ - 13}} = 0.5 \times 9.11 \times {10^{ - 31}} \times {v^2} \Rightarrow v = 8.38 \times {10^8}\;m/s\)

जो प्रकाश की गति से बहुत अधिक है, इसलिए संभव नहीं है।

नोट : प्रोटॉन का द्रव्यमान = 1.67 × 10 ^-27 kg, न्यूट्रॉन का द्रव्यमान = 1.67 × 10 ^-27 kg;

सही उत्तर 392 किग्रा-मीटर/सेकेंड है।Key Points

• किसी कण का संवेग उस समय का माप है जो किसी स्थिर बल को स्थिर करने के लिए आवश्यक है।
•  एक समीकरण के संदर्भ में, किसी वस्तु का संवेग वस्तु के द्रव्यमान के गुणा के वेग के बराबर होता है।
  • संवेग = द्रव्यमान * वेग  
• भौतिकी में, मात्रा संवेग का प्रतीक निचला मामला p है। इस प्रकार, उपरोक्त समीकरण को p = m • v के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
• संवेग एक सदिश राशि है; यानी इसमें परिमाण और दिशा दोनों हैं।

Additional Information

• आइजैक न्यूटन के गति के दूसरे नियम में कहा गया है कि गति के परिवर्तन की समय दर कण पर कार्य करने वाले बल के बराबर होती है।
• संवेग के संरक्षण का वर्णन P1 (पहले) + P2 (पहले) = P1 (बाद) + P2 (बाद) द्वारा किया जा सकता है।
• गति के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं -
  • एक रेल 100 किमी/घंटा की गति से चलती है।
  • बंदूक से निकली एक गोली।
  • एक बेसबॉल हवा में उड़ता हुआ।

संकल्पना:

चिरप्रतिष्ठित भौतिकी के अनुसार, किसी निकाय का जड़त्वीय द्रव्यमान प्रकाश के वेग से स्वतंत्र होता है। इसे एक स्थिरांक माना जाता है। हालाँकि सापेक्षता का विशेष सिद्धांत हमें वेग के साथ द्रव्यमान के परिवर्तन की अवधारणा की ओर ले जाता है। यह सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का अनुसरण करता है कि किसी पर्यवेक्षक के सापेक्ष आपेक्षिकीय वेग v के साथ गतिमान निकाय का द्रव्यमान m उसके mo से अधिक होता है जब वह विश्राम स्थिति में होता है।

सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के कुछ दिलचस्प परिणामों को संक्षेप में उनके गणितीय व्युत्पत्नों में जाने के बिना निम्नानुसार किया जा सकता है।

समय विस्तारण: चिरप्रतिष्ठित भौतिकी के अनुसार समय एक निरपेक्ष राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार, समय एक निरपेक्ष राशि नहीं है। यह संदर्भ के फ्रेम की गति पर निर्भर करता है।

यदि एक जड़त्वीय फ्रेम S में दो सिग्नलों के बीच समय का अंतराल (एक घड़ी की टिक टिक) t कहा जाता है, तो इन दो अन्य सिग्नलों के बीच का समय अंतराल पहले के संबंध में गतिमान दूसरे जड़त्वीय फ्रेम S 'के द्वारा दिया जाएगा।

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

इसका अर्थ है कि t’ में वृद्धि हुई है या यह विस्तारित है।दूसरे शब्दों में, घड़ी धीमी हो जाएगी।

लंबाई संकुचन:

गतिमान अंतरिक्ष यान में एक पर्यवेक्षक द्वारा मापन की गई पृथ्वी की दूरी पृथ्वी से एक पर्यवेक्षक द्वारा मापन की गई दूरी से छोटी प्रतीत होगी।अर्थात्ः (i-e S '

\(L = \frac{L'}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\Rightarrow L'=L\times {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} } \)

L' < L इसलिए v

द्रव्यमान में परिवर्तन:

द्रव्यमान भी अपरिवर्तनीय नहीं है। यदि विश्राम स्थिति में निकाय में एक द्रव्यमान mo होता है तो वह द्रव्यमान होता है जो वेग v से गति करता है, और m तक निम्न से वृद्धि करता हैः

\(m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

गणना:

दिया गया है:

विश्राम स्थिति में अंतरिक्ष यात्री की हृदय गति 65 बीट्स / मिनट होती है। जब अंतरिक्ष यात्री का अंतरिक्ष यान 0.6 c की गति से आगे बढ़ेगा, तो पृथ्वी पर्यवेक्षक द्वारा मापन की जाने वाली उसकी हृदय गति निम्न होगी:

आवृत्ति, f = 65 बीट्स प्रति मिनिट

एक मिनट में 65 बीट्स होते हैं।

T = 1/65 min, v = 0.6 c

\(T' = \frac{T}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} \Rightarrow T' = \frac{\frac{1}{65}}{{\sqrt {1 - {{\left( {0.6} \right)}^2}} }} \Rightarrow T' = \frac{1}{52} \)

T' =एक मिनट में, 52 बीट्स 

T' = 52 beats/min

संकल्पना:

शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार एक निकाय का जड़त्व द्रव्यमान प्रकाश के वेग से स्वतंत्र होता है। इसे स्थिर माना जाता है। हालाँकि सापेक्षता का विशेष सिद्धांत हमें वेग के साथ द्रव्यमान की भिन्नता के संकल्पना की ओर ले जाता है। यह सापेक्षता के उस विशेष सिद्धांत का पालन करता है कि एक पर्यवेक्षक के सापेक्ष सापेक्षकीय वेग v के साथ गतिमान एक निकाय का द्रव्यमान m विरामावस्था में होने पर इसके m0 से अधिक होता है।

सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के कुछ रोचक परिणामों को उनके गणितीय व्युत्पत्ति में जाए बिना प्रस्तुत किया जा सकता है। 

समय विस्तारण: शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार समय एक निरपेक्ष राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार समय निरपेक्ष राशि नहीं है। यह संदर्भ के ढांचे की गति पर निर्भर करता है। 

यदि एक जड़त्व ढांचे S में दो सिग्नलों के बीच समय अंतराल (अर्थात् एक घड़ी का प्रांकन) t है, तो पहले के संबंध में गतिमान दूसरे जड़त्व ढांचे S’ में इन दो अलग-अलग सिग्नलों के बीच समय अंतराल को निम्न द्वारा ज्ञात किया जायेगा

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

इसका अर्थ है कि t’ संवर्धित या फैला हुआ है। अन्य शब्दों में घड़ी धीरे चलेगी। 

लम्बाई संकुचन:

एक गतिमान अंतरिक्ष यान में पर्यवेक्षक द्वारा मापित भूमि से तारे तक की दूरी भूमि पर पर्यवेक्षक द्वारा मापित दूरी की तुलना में छोटी प्रतीत होगी, अर्थात्: (अर्थात् S’ < S)

\(L = \frac{L'}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\Rightarrow L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

L < L’ चूँकि v

द्रव्यमान की भिन्नता:

द्रव्यमान भी अपरिवर्तनीय नहीं है। यदि विरामावस्था पर एक निकाय में द्रव्यमान m0 है, तो इसके वेग v से गतिमान होने पर इसका द्रव्यमान m तक बढ़ जाता है, जिसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

गणना:

दो अलग-अलग ढांचों में वेग के समानांतर लम्बाई का घटक संकुचन से गुजरता है लेकिन लंबवत घटक समान रहता है। इसलिए x - अक्ष के समानांतर लम्बाई परिवर्तित हो जाती है तथा चौड़ाई और ऊंचाई समान रहती है।

\(L' = L\sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{C^2}}}} = 50 \times \sqrt {1 - {{\left( {0.6} \right)}^2}} = 40\;cm\)

संकल्पना:

शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार एक निकाय का जड़त्व द्रव्यमान प्रकाश के वेग से स्वतंत्र होता है। इसे स्थिर माना जाता है। हालाँकि सापेक्षता का विशेष सिद्धांत हमें वेग के साथ द्रव्यमान की भिन्नता के संकल्पना की ओर ले जाता है। यह सापेक्षता के उस विशेष सिद्धांत का पालन करता है कि एक पर्यवेक्षक के सापेक्ष सापेक्षकीय वेग v के साथ गतिमान एक निकाय का द्रव्यमान m विरामावस्था में होने पर इसके m0 से अधिक होता है।

सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के कुछ रोचक परिणामों को उनके गणितीय व्युत्पत्ति में जाए बिना प्रस्तुत किया जा सकता है।

समय विस्तारण: शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार समय एक निरपेक्ष राशि है। लेकिन सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के अनुसार समय निरपेक्ष राशि नहीं है। यह संदर्भ के ढांचे की गति पर निर्भर करता है।

यदि एक जड़त्व ढांचे S में दो सिग्नलों के बीच समय अंतराल (अर्थात् एक घड़ी का प्रांकन) t है, तो पहले के संबंध में गतिमान दूसरे जड़त्व ढांचे S’ में इन दो अलग-अलग सिग्नलों के बीच समय अंतराल को निम्न द्वारा ज्ञात किया जायेगा

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

इसका अर्थ है कि t’ संवर्धित या फैला हुआ है। अन्य शब्दों में घड़ी धीरे चलेगी।

लम्बाई संकुचन:

एक गतिमान अंतरिक्ष यान में पर्यवेक्षक द्वारा मापित भूमि से तारे तक की दूरी भूमि पर पर्यवेक्षक द्वारा मापित दूरी की तुलना में छोटी प्रतीत होगी, अर्थात्: (अर्थात् S’ < S)

\(L = \frac{L'}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\Rightarrow L'=L\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}\)

L < L’ चूँकि v

द्रव्यमान की भिन्नता:

द्रव्यमान भी अपरिवर्तनीय नहीं है। यदि विरामावस्था पर एक निकाय में द्रव्यमान m0 है, तो इसके वेग v से गतिमान होने पर इसका द्रव्यमान m तक बढ़ जाता है, जिसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(m = \frac{{{m_o}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)

गणना:

Mc² = 2 × m₀C²

m = 2m₀

\(\frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{C^2}}}} }} = 2{m_0}\)

\(\sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{C^2}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{V}{C} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

संकल्पना:

(आपेक्षिकीय) वेगों का योग या वेग योज्य प्रमेय:

लारेन्ट्स परिवर्तन समीकरण हमें एक फ्रेम की दूसरे से संदर्भ के साथ सापेक्ष गति में वेग परिवर्तन करने में सक्षम करते हैं।

S और S’ को सापेक्ष गति में दो जड़त्वीय फ्रेम मानें ताकि S; X- अक्ष के साथ दाईं ओर समान वेग v के साथ गति करता है।

मानें कि u और u’ कण का वेग है जिसे जड़त्वीय फ्रेम में क्रमशः S और S’ में मापा जाता हैं।

\(u' = \frac{{u - v}}{{1 - \frac{{uv}}{{{c^2}}}}}\)

इसलिए, यदि किसी कण का वेग U' संदर्भ S के फ्रेम में है' जो कि संदर्भ S की अन्य फ्रेम के सापेक्ष वेग v के साथ गति कर रहा है, तो फ्रेम S में कण का वेग होगा:

\(u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u'v}}{{{c^2}}}}}\)

गणना:

u' = अंतरिक्ष यान के सापेक्ष रॉकेट का वेग

v = पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का वेग

u' = 0.7 c, v = 0.6 c

\(u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u'v}}{{{c^2}}}}} = \frac{{\left( {0.7 + 0.6} \right)c}}{{1 + 0.7 \times 0.6}}\)

\(u = 0.92\;c\)