Projection & nth root of unity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Projection & nth root of unity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Projection & nth root of unity MCQ Objective Questions
Projection & nth root of unity Question 1:
मानें कि n एक धनात्मक पूर्णांक है। एक वास्तविक संख्या R > 1 के लिए,
z(θ) = Reiθ, 0 ≤ θ मान लें।
समुच्चय {θ ∈ [0, 2π) ∶ |z(θ)n + 1| = |z(θ)|n - 1} में निम्न में से कौन से समुच्चय हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Projection & nth root of unity Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
z(θ) = Reiθ, 0 ≤ θ
माना S = {θ ∈ [0, 2π) ∶ |z(θ)n + 1| = |z(θ)|n - 1}
अब
|z(θ)n + 1| = |z(θ)|n - 1
⇒ |(Reiθ)n + 1| = |Reiθ|n - 1
⇒ |Rneinθ + 1| = Rn - 1 (क्योंकि |eiθ| = 1)
⇒ (|Rneinθ + 1|)2 = (Rn - 1)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (Rneinθ + 1) (Rne-inθ + 1) = R2n-2Rn+1 (|z|2 = z ̅z )
⇒ R2n + Rneinθ + Rneinθ + 1 = R2n-2Rn+1
⇒ Rneinθ + Rneinθ = -2Rn
⇒ einθ + einθ = -2
⇒ (einθ + einθ) / 2= -1
⇒ cos(nθ) = -1
इसलिए हमें प्राप्त होता है {θ ∈ [0, 2π) ∶ cos nθ = -1}.
केवल विकल्प (3) सही है।
Top Projection & nth root of unity MCQ Objective Questions
Projection & nth root of unity Question 2:
मानें कि n एक धनात्मक पूर्णांक है। एक वास्तविक संख्या R > 1 के लिए,
z(θ) = Reiθ, 0 ≤ θ मान लें।
समुच्चय {θ ∈ [0, 2π) ∶ |z(θ)n + 1| = |z(θ)|n - 1} में निम्न में से कौन से समुच्चय हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Projection & nth root of unity Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
z(θ) = Reiθ, 0 ≤ θ
माना S = {θ ∈ [0, 2π) ∶ |z(θ)n + 1| = |z(θ)|n - 1}
अब
|z(θ)n + 1| = |z(θ)|n - 1
⇒ |(Reiθ)n + 1| = |Reiθ|n - 1
⇒ |Rneinθ + 1| = Rn - 1 (क्योंकि |eiθ| = 1)
⇒ (|Rneinθ + 1|)2 = (Rn - 1)2 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (Rneinθ + 1) (Rne-inθ + 1) = R2n-2Rn+1 (|z|2 = z ̅z )
⇒ R2n + Rneinθ + Rneinθ + 1 = R2n-2Rn+1
⇒ Rneinθ + Rneinθ = -2Rn
⇒ einθ + einθ = -2
⇒ (einθ + einθ) / 2= -1
⇒ cos(nθ) = -1
इसलिए हमें प्राप्त होता है {θ ∈ [0, 2π) ∶ cos nθ = -1}.
केवल विकल्प (3) सही है।