क्रमचय और संचय MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Permutation and Combination - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

हमें यह ज्ञात करना है कि अंकों 0, 1, 2, 3, 4 और 5 का उपयोग करके बिना किसी अंक को दोहराए कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

हल:

किसी 3-अंकीय संख्या के सम होने के लिए, उसका इकाई (अंतिम) अंक सम अंकों में से एक होना चाहिए। इस मामले में, उपलब्ध सम अंक 0, 2 और 4 हैं।

स्थिति 1: इकाई का अंक 0 है

यदि इकाई का अंक 0 है, तो पहला अंक (सैकड़े का स्थान) शेष अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 में से चुना जा सकता है। पहले अंक के लिए 5 विकल्प हैं।

दूसरा अंक (दहाई का स्थान) शेष 4 अंकों में से चुना जा सकता है, जिससे हमें दूसरे अंक के लिए 4 विकल्प मिलते हैं।

इस प्रकार, जब इकाई का अंक 0 हो, तो 3-अंकीय सम संख्याओं की कुल संख्या है:

5 × 4 = 20

स्थिति 2: इकाई का अंक 2 है

यदि इकाई का अंक 2 है, तो पहला अंक (सैकड़े का स्थान) शेष अंकों 1, 3, 4 और 5 में से चुना जा सकता है। पहले अंक के लिए 4 विकल्प हैं।

दूसरा अंक (दहाई का स्थान) शेष 4 अंकों (0, 1, 3, 4, 5) में से चुना जा सकता है, जिससे हमें दूसरे अंक के लिए 4 विकल्प मिलते हैं।

इस प्रकार, जब इकाई का अंक 2 हो, तो 3-अंकीय सम संख्याओं की कुल संख्या है:

4 × 4 = 16

स्थिति 3: इकाई का अंक 4 है

यदि इकाई का अंक 4 है, तो पहला अंक (सैकड़े का स्थान) शेष अंकों 1, 2, 3 और 5 में से चुना जा सकता है। पहले अंक के लिए 4 विकल्प हैं।

दूसरा अंक (दहाई का स्थान) शेष 4 अंकों (0, 1, 2, 3, 5) में से चुना जा सकता है, जिससे हमें दूसरे अंक के लिए 4 विकल्प मिलते हैं।

इस प्रकार, जब इकाई का अंक 4 हो, तो 3-अंकीय सम संख्याओं की कुल संख्या है:

4 × 4 = 16

3-अंकीय सम संख्याओं की कुल संख्या:

20 (इकाई अंक 0) + 16 (इकाई अंक 2) + 16 (इकाई अंक 4) = 52

उत्तर: 52

दिया गया है:

शब्द COVID है

अक्षरों की संख्या = 5

प्रयुक्त सूत्र:

भिन्न शब्दों की संख्या = n!

जहाँ n = अक्षरों की संख्या

गणना:

भिन्न शब्दों की संख्या = 5!

⇒ भिन्न शब्दों की संख्या = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

⇒ भिन्न शब्दों की संख्या = 120

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

व्याख्या:

दिया गया है,

पाठ्यक्रमों की संख्या, n > 4

छात्र को n पाठ्यक्रमों में से (n - 2) पाठ्यक्रम चुनने हैं, जिसमें 2 पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं

∴ कुल पाठ्यक्रम n - 2 हैं और (n - 2) पाठ्यक्रमों में से चुने जा सकने वाले शेष पाठ्यक्रमों की कुल संख्या (n - 4) है।

∴ आवश्यक तरीकों की संख्या ^(n-2) C _(n-4).

⇒ \(\frac{(n-2)(n-3)}{2}\)

∴ विकल्प d सही है।2(n−2)x(n−3)2(n−2)x(n−3)" id="MathJax-Element-26-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">(n−2)x(n−3)(n−2)x(n−3)" id="MathJax-Element-32-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">(n−2)x(n−3)(n−2)x(n−3) (n−2)x(n−3) (n−2)x(n−3)

दिया गया है:

अंक 1, 2, 2, 4, 2, 4

प्रयुक्त सूत्र:

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × (n - 4)     ... × 1

npr = n!/(n - r)!

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

6 अंक हैं और हमें 5 अंकों की संख्या चाहिए।

आवश्यक तरीकों की संख्या = 6!/(6 - 5)! 

6!/(6 - 5)! = 6!

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

प्रश्न के अनुसार,

2 तीन बार आया है और 4 दो बार आया है।

⇒ 720/(3! × 2!) 

⇒ 720/12 = 60

∴ 1, 2, 2, 4, 2, 4 अंक का प्रयोग करके 5 अंकों की 60 संख्याएं बनाई जा सकती हैं।

⇒ अंकों 3, 5 और 7 के उपयोग से बनायी जा सकने वाली दो अंकों वाली संख्याओं की संख्या = 3 × 3

∴ दो अंकों वाली 9 संभव संख्याएँ बनायी जा सकती हैं।

9 संभव दो अंकों की संख्या हैं:

33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77

दिया गया है:

दी गई संख्या 'GEOGRAPHY' है।

गणना:

शब्द 'GEOGRAPHY' में 9 अक्षर हैं। इसमें E, O, A स्वर हैं और इन तीनों स्वर को एकसाथ आना चाहिएI अतः इन 3 स्वरों को समूहीकृत किया जा सकता है और उन्हें एक अक्षर माना जा सकता है। जो कि, GGRPHY(EOA) हैI 

मान लीजिये कि इस शब्द में 7 अक्षर हैं लेकिन इन 7 अक्षरों में, 'G', 2 बार आता है, लेकिन शेष अक्षर अलग-अलग हैंI

अब,

इन अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 7!/2!

⇒ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520

3 स्वरों (EOA) में, सभी स्वर अलग-अलग हैं।

इन स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 3!

⇒ 3 × 2 × 1 = 6

अब, 

तरीकों की अभीष्ट संख्या = 2520 × 6 

⇒ 15120

∴ तरीकों की अभीष्ट संख्या 15120 हैI

व्याख्या:

बैठक में कुल 45 व्यक्ति हैं और उनमें से 40 व्यक्ति एक दूसरे को जानते हैं।

इसलिए, 5 व्यक्ति किसी को नहीं जानते हैं। 

माना कि, वे 5 व्यक्ति A, B, C, D, E हैं। 

इसलिए A, 44 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा।

B, 43 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा। 

C, 42 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा। 

D, 41 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा। 

और E, 40 व्यक्तियों से हाथ मिलाएगा। 

अतः कुल हाथ-मिलान = 44 + 43 + 42 + 41 + 40 = 210

सही उत्तर विकल्प (3) है। 

दिया गया है: 

(7 पुरुष + 6 महिलाएं) 5 व्यक्तियों को एक समिति के लिए चुना जाना है।

प्रयुक्त सूत्र:

nCr = n!/(n - r)! r!

गणना:

वह तरीके जिनसे कम से कम 3 पुरुषों का चयन किया जाता है;

⇒ 3 पुरुष + 2 महिलाएं

⇒ 4 पुरुष + 1 महिला

⇒ 5 पुरुष + 0 महिला

तरीकों की संख्या = 7C3 × 6C2 + 7C4 × 6C1 + 7C5 × 6C0

⇒ 7!/(3! × 4!) × 6!/(2! × 4!) + 7!/(4! × 3!) × 6!/(1! × 5!) + 7!/(5! × 2!) × 6!/(6!× 0!)

⇒ 35 × 15 + 35 × 6 + 21 

⇒ 735 + 21 = 756

∴ अभीष्ट तरीकों की संख्या = 756

Important Points 0! का मान 1 होता है।

448 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7

⇒ 448 = 2⁶ × 7¹

∴ छात्रों में एकसमान रूप से वितरित किए जाने वाले मोबाइल फ़ोनों की आवश्यक संख्या= (6 + 1) × (1 + 1) = 7 × 2 = 14

दिया गया है:

शब्द 'FIGHT' में कुल अक्षर = 5 

प्रयुक्त अवधारणा:

व्यवस्था के तरीकों की कुल संख्या = n! 

गणना

n भिन्न शब्दों को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या (बिना दोहराव के) = 5! 

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 

∴ अभीष्ट उत्तर 120 है।

दिया हुआ है:

3 अंक संख्या बनाने के लिए अंक हैं 5, 6, 7, 8, 9 

गणना:

आइए हम क्रमशः 3 अंक की संख्या को सै द इ (सैकड़ा, दहाई, इकाई अंक) के रूप में लिखते हैं

3 अंकों की संख्या को विषम बनाने के लिए

5, 7, 9 अंक केवल संभवतः इकाई स्थान में उपयोग किए जाते हैं

सैकड़ा और दहाई स्थान पर सभी 5 अंक संभव हैं

इकाई अंक के लिए तरीकों की संख्या = 3

दहाई अंक के लिए तरीकों की संख्या = 5

सैकड़ा अंक के लिए तरीकों की संख्या = 5

3 अंको की विषम संख्या = 3 × 5 × 5 = 75

∴ 5, 6, 7, 8, 9 अंकों से 3 अंक की 75 विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंक दोहराया जा सकता है

दिया है:

शब्द = MANAGEMENT

गणना:

स्वर 4 स्थानों पर हैं, तो !4

∵ A और E का दोहराव हुआ है, तो !4/(!2 × !2)

व्यंजन 6 स्थानों पर हैं, तो !6

⇒ M और N का दोहराव हुआ है, तो !6/(!2 × !2)

 ∴ \(\frac{{!4}}{{!2\; × \;!2}}\; × \;\frac{{!6}}{{!2\; × \;!2}} = \;\frac{{4\; × 3\; × 2\; × 1}}{{2\; × 1\; × 2\; × 1}}\; × \frac{{6\; × 5\; × 4\; × 3\; × 2\; × 1}}{{2\; × 1\; × 2\; × 1}}\)

= 6 × 180 = 1080

दिया है:

CHRISTMAS शब्द से विभिन्न शब्द बनाये जाने हैं।

सूत्र:

शब्द जिनमें C और M कभी एक साथ ना हों = सभी स्थितियां –  शब्द जिनमें C और M एक साथ हों

गणना:

⇒ शब्दों की कुल संख्या = 9!/2! (2! का भाग क्योंकि S आवर्ती है)

माना C और M एक इकाई है। तब, अक्षरों को 8! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। C और M को 2! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अक्षर S आवर्ती है, इसलिए तरीकों की कुल संख्या का 2! से भाग दिया जाएगा।

⇒ शब्दों की संख्या जिनमें C और M एक साथ हों = 8!/2! × 2! = 8!

दिया गया है:

5 संख्याएं 2, 5, 6, 7 और 8 दी गई हैं

दोहराव के बिना चार अंकों की संख्या

प्रयुक्त सूत्र:

बिना दोहराव के क्रमपरिवर्तन = \(\frac{n!}{(n \ - \ r)!}\)

जहाँ n  = कुल संभावित संख्याएं 

r = अभीष्ट संख्या 

गणना:

यहाँ कुल संभावित संख्याएं n = 5

और अभीष्ट संख्या r = 4

सूत्र को लागू करने पर

\(\frac{5!}{(5\ - \ 4)!}\)

⇒ 5!

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ यहाँ 120 संभावित चार अंकों की संख्या होगी।