Partial Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Partial Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 27, 2025

पाईये Partial Differential Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Partial Differential Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Partial Differential Equations MCQ Objective Questions

Partial Differential Equations Question 1:

ऊष्मा समीकरण
ut2ux2=0,0<x<2,t>0,

जहाँ x = 1 पर प्रारंभिक प्रतिबंध u(x, 0) = 0, 0 < x < 2 और परिसीमा प्रतिबंध u(0, t) = 1 और u(2, t) = 3, t > 0 हैं। तो समीकरण का स्थायी अवस्था हल ज्ञात कीजिए। 

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Partial Differential Equations Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

ऊष्मा समीकरण ut2ux2=0,0<x<a,t>0, के स्थायी अवस्था हल के लिए, ut = 0

व्याख्या:

ut2ux2=0,0<x<2,t>0,.....(i)

प्रारंभिक प्रतिबंध u(x, 0) = 0, 0 < x < 2 और परिसीमा प्रतिबंध u(0, t) = 1 और u(2, t) = 3 के साथ

स्थायी अवस्था हल रखता है।

इसलिए, ut = 0

⇒ u = f(x) (दोनों पक्षों का समाकलन करने पर)

(i) में रखने पर हमें मिलता है

2ux2=0 और u केवल x का फलन है

d2udx2=0

⇒ u = ax + b जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं।

इसलिए, u(x, t) = ax + b

दिया गया है u(0, t) = 1 और u(2, t) = 3

u(0, t) = 1 ⇒ b = 1

और u(2, t) = 3 ⇒ 2a + b = 3 ⇒ 2a + 1 = 3 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1

इसलिए, u(x, t) = x + 1

x = 1 पर, u = 1 + 1 = 2

इसलिए, विकल्प (2) सही है। 

Partial Differential Equations Question 2:

आंशिक अवकल समीकरण z = pq का सम्पूर्ण समाकलन ________ होगा। 

जहाँ p=zx एवं q=zy है। 

  1. Z = x + y + a
  2. Z = x - y + a
  3. Z = xy
  4. Z = (x + a) (y + b)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : Z = (x + a) (y + b)

Partial Differential Equations Question 2 Detailed Solution

अवधारणा का उपयोग:

चार्पिट के सहायक समीकरण हैं

dpfx+pfz=dqfy+qfz=dzpfpqfq=dxfq=dyfq=dF0

स्पष्टीकरण:

चार्पिट्स समीकरण द्वारा -

dpfx+pfz=dqfy+qfz=dzpfpqfq=dxfq=dyfq=dF0

सभी आवश्यक मान प्राप्त करने के बाद, हमारे पास है

dpp=dqq=dq2pq=dxq=dyp=dF0

दूसरे और चौथे कारक को लेते हुए, हमारे पास है

dqq=dxqdq=dx

एकीकरण, हमारे पास है

q = x + a

इस मान को दिए गए समीकरण में डालने के बाद, हमारे पास है

p=zx+a

अब dz = pdx + qdy देता है

dz=zx+adx+(x+a)dy

x+a)dzzdx(x+a)2=dy

एकीकरण पर, हमारे पास है

zx+a=y+b

अर्थात z = (x + a)(y + b)

यह आवश्यक पूर्ण समाधान है.

Partial Differential Equations Question 3:

x(yz)zx+y(zx)zy = z(x - y) का व्यापक हल ________ होगा।

  1. F(x + y + z, xyz) = 0
  2. F(xy + yz, xyz) = 0
  3. F(1x+1y+1z,xyz)=0
  4. F(x2 - y2, z) = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : F(x + y + z, xyz) = 0

Partial Differential Equations Question 3 Detailed Solution

अवधारणा:

माना P(x,y,z)zx+Q(x,y,z)zy=R(x,y,z) कौशी रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है

लैग्रेंज -चारपिट विधि​ का प्रयोग करने पर,

अभिलाक्षणिक समीकरण निम्न प्रकार दी गई है: dxP=dyQ=dzR

x, y और z के व्यंजक ज्ञात करने के लिए अभिलाक्षणिक समीकरणों को हल करने पर, 

स्पष्टीकरण:

 x(yz)zx+y(zx)zy = z(x - y)

लैग्रेंज -चारपिट विधि​ का प्रयोग करने पर,

dxx((yz)=dyy(zx)=dzz(xy)

अब, dx+dy+dzxyxz+yzxy+zxzy

dx+dy+dz0

⇒ x+y+z=A (A अचर है)

अब, dxx+dyy+dzzyz+zx+xy

⇒ dxx+dyy+dzz0

⇒ xyz=B (B अचर है)

⇒ F(x + y + z, xyz) = 0

अतः, विकल्प (1) सही है

Partial Differential Equations Question 4:

यदि आंशिक अवकल समीकरण (D+ 2DD' + D'2} Z = cos(x + 2y) का विशिष्ट समाकलन k cos(x + 2y) है, तब K = _______ होगा।

  1. 19
  2. 19
  3. 18
  4. 18

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 19

Partial Differential Equations Question 4 Detailed Solution

अवधारणा:

यदि आंशिक अवकल समीकरण  ϕ(D,D')z=cos(ax+by) के रूप में है।

तब, PI= 1ϕ(D,D) cos(ax+by)

PI = 1ϕ(D2,DD,D2) Cos(ax+by)=1ϕ(a2,ab,b2)cos(ax+by)

स्पष्टीकरण:

 (D+ 2DD' + D'2} Z = cos(x + 2y) 

PI=1(D2+2DD+D2)cos(x+2y)

PI= 19cos(x+2y)

स्पष्ट रूप से, k=19

अत:, विकल्प (1) सही है।

Partial Differential Equations Question 5:

z = (x + y) f(x2 – y2) से बनने वाला आंशिक अवकल समीकरण ____ है।

  1. px + qy = z
  2. py + qx = z
  3. py - qx = z
  4. px - qy = z
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : py + qx = z

Partial Differential Equations Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

आंशिक अवकल समीकरणों का निर्माण यादृच्छिक अचर या यादृच्छिक फलनों को समाप्त करके किया जाता है।

यह यादृच्छिक फलनों को समाप्त करने की स्थिति है।

गणना:

दिया गया फलन निम्न है:  z = (x + y) f(x2 – y2);

x और y के सापेक्ष में z का आंशिक रूप से अवकलन करने पर,

p=zx=(x+y)f(x2y2)2x+f(x2y2)

q=zy=(x+y)f(x2y2)2y+f(x2y2)

f(x2 – y2) = z/(x + y) विस्थापित करने पर;

pzx+y=2x(x+y)f(x2y2)

qzx+y=2y(x+y)f(x2y2)

दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,

pzx+yqzx+y=xy

px+pyzqx+qyz=xy

⇒ pxy + py2 – zy = -qx2 – qxy + zx

⇒ py (x + y) = - qx (x + y) + z (x + y)

⇒ py + qx = z

Top Partial Differential Equations MCQ Objective Questions

आंशिक अवकल समीकरण 2ut2c2(2ux2+2uy2)=0 है; तो c ≠ 0 को किस रूप में जाना जाता है?

  1. ऊष्मा समीकरण 
  2. तरंग समीकरण
  3. प्वासों का समीकरण 
  4. लाप्लास समीकरण 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : तरंग समीकरण

Partial Differential Equations Question 6 Detailed Solution

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वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दिया गया है

(2Tdx2+2Ty2+2Tz2)+Q(x,t)K=1αTt

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

2Tx2=1αTt

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:2ut2=c2(2ux2+2uy2)      (2-D)

लाप्लास समीकरण: 

2ux2+2uy2+2uz2=0     (3-D)

2u=0

प्वासों का समीकरण 

2V=ρvϵ

आंशिक अवकल समीकरण

y2δzδxxyδzδy=x(z2y)का सामान्य हल _______होगा,जहाँ ϕ एक यादृच्छिक फलन है।

  1. ϕ (x3 - x2y, x + y + z) = 0
  2. ϕ (x2 + y2, y2 - yz) = 0
  3. ϕ (x2 + xy, y + z) = 0
  4. ϕ (x2 - y3, y - z) = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : ϕ (x2 + y2, y2 - yz) = 0

Partial Differential Equations Question 7 Detailed Solution

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दिया गया आंशिक अवकल समीकरण निम्न है:

y2zxxyzy=x(z2y)

सहायक समकालिक समीकरण निम्न है:

dxy2=dyxy=dzx(z2y)

dxy2=dyxyसे

⇒ dxy=dyx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें मिलता है

xdx=ydy

⇒ x22=y22+c

⇒ x2 + y2 = स्थिरांक

और फिर से

dyxy=dzx(z2y)

dyy=dzz2y

⇒ z dy - 2y dy + y dz = 0

⇒ z dy + y dz - 2y dy = 0

⇒ y2 – yz = स्थिरांक

इस प्रकार,सामान्य हल निम्न है

ϕ (x2 + y2, y2 - yz) = 0

एक फलन u लेते हैं जो स्थान x और समय t पर निर्भर करता है। तो आंशिक अवकल समीकरण ut=2ux2 को किस रूप में जाना जाता है?

  1. तरंग समीकरण 
  2. ऊष्मा समीकरण 
  3. लाप्लास समीकरण 
  4. प्रत्यास्थता समीकरण 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : ऊष्मा समीकरण 

Partial Differential Equations Question 8 Detailed Solution

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वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दर्शाया गया है

(2Tdx2+2Ty2+2Tz2)+Q(x,t)K=1αTt

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

2Tx2=1αTt

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

2ut2=C2.2ux2      (1-D)

लाप्लास समीकरण:

2ux2+2uy2+2uz2=0     (3-D)

2u=0

एक आयामी तरंग समीकरण क्या है?

  1. 2yt2=α22yx2
  2. yt=α22yx2
  3. 2yt2=2yx2
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 2yt2=α22yx2

Partial Differential Equations Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

तरंग समीकरण:

यह तरंगों (जैसे यांत्रिक तरंगों) के वर्णन के लिए एक दूसरी कोटि का रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है।

आंशिक अवकल समीकरण निम्न रूप में दिया गया है,

A2ux2+B2uxy+C2uy2+Dux+Euy=F

B2 – 4AC < 0

दीर्घ वृत्ताकार

2-D ऊष्मा समीकरण

B2 – 4AC = 0

परवलयिक

1-D ऊष्मा समीकरण

B2 – 4AC > 0

अतिपरवलयिक

1-D तरंग समीकरण

एक-आयामी समीकरण के लिए,

α22yx2=2yt2

जहाँ A = α2, B = 0, C = -1

सभी मानों को समीकरण (1) में रखें

∴ 0 - 4 (α2)(-1)

> 0

तो, यह एक आयामी तरंग समीकरण है

Additional Information

yt=α22yx2

A = α2 , B = 0, C = 0 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(α2)(0) = 0, इसलिए यह परवलयिक फलन दर्शाता है।

तो, यह एक आयामी ऊष्मा समीकरण है।

2yt2=2yx2

A = 1, B = 0, C = 1 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(1)(1) = -4, इसलिए यह दीर्घ वृत्ताकार फलन को दर्शाता है।

तो, यह एक दो आयामी ऊष्मा समीकरण है।

निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण uy=2ux2;y0; x1xx2 को u:u (x, y)  के लिए परिभाषित किया गया है
विशिष्ट रूप से समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक समुच्चय सहायक स्थितियां क्या है?

  1. तीन प्रारंभिक स्थितियां 
  2. तीन सीमा स्थितियां 
  3. दो प्रारंभिक स्थितियां और एक सीमा स्थिति 
  4. एक प्रारंभिक स्थिति और दो सीमा स्थितियां 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : एक प्रारंभिक स्थिति और दो सीमा स्थितियां 

Partial Differential Equations Question 10 Detailed Solution

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दिया गया है:

vy=2vx2; y ≥ 0; x1 ≤ x ≤ x2

∵ y ≥ 0 ⇒ इसे ‘t’ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। 

vt=2vx2

यह एक 1 - D ऊष्मा समीकरण है। यह एकसमान छड़ में तापमान वितरण को मापता है।

सामान्य समीकरण u = f(x, t) है। 

u = (c1 cos px + c2 sin px) (c3ec2p2t)

सहायक हल में प्रारंभिक और सीमा स्थिति दोनों शामिल है। 

1) प्रारंभिक स्थितियों की संख्या = आंशिक अवकल में समय अवकलज की उच्चतम कोटि = 1 

2) सीमा स्थितियों की संख्या:

vt=2vx2 ; इस आंशिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए इसे दो बार समाकलित करने की आवश्यकता है जिससे यह दो यदृच्छ स्थिरांक पेश करेंगे। 

अतः 2 सीमा स्थितियां और 1 प्रारंभिक स्थिति इस आंशिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक है। 

आंशिक अवकल समीकरण x2zx+y2zy=(x+y)z का हल क्या है?

  1. f(1y1x,xyz)=0
  2. f(1xy,xyz)=0
  3. f(1x1y, xyz)=0
  4. f(1x+1y+1z,xyz)=0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : f(1y1x,xyz)=0

Partial Differential Equations Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

Xp + Yq = Z

जहाँ pdzdx

qdzdy और X, Y और Z, x, y और z के फलन हैं। 

तो इसका सहायक समीकरण निम्न होगा

dxX=dyY=dzZ और उपरोक्त समीकरण को हल करने पर हमें u = c1 और v = cप्राप्त होता है। 

जहाँ c1 और  c2 = स्थिरांक है, u और v, x, y, z के फलन हैं। 

तो उपरोक्त समीकरण का हल निम्न होगा

f(u, v) = 0 या u = ϕ (v)

गणना:

हमें x2dzdx+y2dzdy=(x+y)z दिया गया है। 

तो इसका सहायक समीकरण निम्न होगा,dxx2=dyy2=dz(x+y)z ---(1)

उपरोक्त समीकरण के पहले दो भागों को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

dxx2=dyy21x=1y+c1c1=1y1x

हम समीकरण (1) को नीचे व्यक्त किये गए समीकरण के रूप में लिख सकते हैं 

dxxx=dyyy=dzzx+y

dxx+dyy=dzz

उपरोक्त समीकरण का समाकलन करने,

In x + In y = In z + In c2

⇒ In c2 = In x + In y – In z

c2=xyz

अतः दिए गए समीकरण का हल निम्न होगा

f(c1, c2) = 0

f[1y1x,xyz]=0

समीकरण z = ax2 + by2 से स्वेच्छ अचरों को हटाकर एक आंशिक अवकल समीकरण बनाइए।

  1. 2z = qx + py
  2. 2z = px + qy
  3. 2z = px - qy
  4. 2z = qx - py

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2z = px + qy

Partial Differential Equations Question 12 Detailed Solution

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 सही विकल्प 2 (2z=px+qy) है।

गणना:

दिया गया है। 

z=ax2+bx2

p = 2ax = dzdx

q = 2ay =dzdy

q2y=b

p2x=a

Z=p2xx2+q2yy2

2Z=px+qy

यदि u = (8x2 + y2) (log x - log y), तब (xux+yuy) बराबर है

  1. u/2
  2. 2u
  3. u
  4. -2u

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2u

Partial Differential Equations Question 13 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक से अधिक स्वतंत्र चर के एक फलन को प्रत्येक स्वतंत्र चर के लिए अलग-अलग आंशिक रूप से अवकलन किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि f(x, y) = 2x2 + 3y2

x के सापेक्ष f(x, y) का आंशिक अवकल fx = fx = (2x2+3y2)x = 4x है (अवकलन होने पर y को एक स्थिरांक के रूप में लें)

y के सापेक्ष f(x, y) का आंशिक अंतर fy fy = (2x2+3y2)y= 6y है (अवकलन करते समय x को एक अचर के रूप में लें)

गणना:

दिया गया है:

समीकरण u = (8x2 + y2)(log x - log y) है। 

अभीष्ट आंशिक अवकलों की गणना नीचे की गई है:

ux =  16x(log x - log y) + (8x2 + y2)(1x) = 16xlog x - 16xlog y + 8x + y2x

uy = 2y(log x - log y) + (8x2 + y2)(-1y) = 2ylog x - 2ylog y - 8x2y - y

  • परिणाम की गणना नीचे की गई है:

xux+yuy

= x(16xlog x - 16xlog y + 8x + y2x) + y(2ylog x - 2ylog y - 8x2y - y)

= 16x2log x - 16x2log y + 8x2 + y2 + 2y2log x - 2y2log y - 8x2 - y2

= 16x2log x + 2y2log x - 16x2log y - 2y2log y

= 2log x(8x2 + y2) - 2log y(8x2 + y2)

= 2(8x2 + y2)(log x - log y)

= 2u

अतः, सही उत्तर विकल्प 2 है। 

आंशिक अवकल समीकरण 2ux2=252udt2 का x = 1, t = 1 पर हल ज्ञात कीजिए, जहाँ प्रारंभिक प्रतिबंध u(0)=3x,ut(0)=3 है।

  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 6

Partial Differential Equations Question 14 Detailed Solution

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सिद्धांत:

यह आंशिक अवकल समीकरण में दिया गया एक-विमीय तरंग समीकरण है:

2yt2=C22yx2

जहाँ C2 = T/m, T = प्रत्यास्थ डोरी में तनाव, और M = प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान

गणना:

ऊपर दिए गए समीकरण की तुलना करने पर, हमें C = 1/5 प्राप्त होता है

f(x) = 3x, g(x) = 3

f (x + ct) = f (x + t/5) = 3 (x + t/5) = 3x + 3t/5

f (x - ct) = f (x - t/5) = 3 (x- t/5) = 3x - 3t/5

U((x,t)=12{f(x+ct)+f(xct)+xctx+ctg(x)dx}

=12{6x+11/5+xt/5x+t/53 dx}

=12{6x+5+[(3x+3t5)(3x3t5)]}

U(x,t)=12(6x+6t)

U(1,1)=12(6×1+6×1)=6

(x - a)2 + (y - b)2 + z2 = c2 से a और b को हटाने पर आंशिक अवकल समीकरण क्या है?

  1. z2(p - q + 1) = c2
  2. z2(p2 + q2 + 1) = c2
  3. z2(p2 + q2) = c2
  4. z2(p - q) = c2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : z2(p2 + q2 + 1) = c2

Partial Differential Equations Question 15 Detailed Solution

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व्याख्या:

(x - a)2 + (y – b)2 + z2 = c2         ---(i)

'x' के सापेक्ष (i) का अवकलन करने पर

2(xa)+0+2zzx=0

2(xa)=2zzx

(xa)=zzx=ϕ

जब,

'y' के सापेक्ष (i) का अवकलन करने पर

2(yb)+2zyz=0

2(yb)=2zyz

(yb)=zyz

(zzx)2+(zyz)2+z2=c2

(-zp)2 + (-zq)2 + z2 = c2

z2 (p2 + q2 + 1) = c2

 विकल्प (2) सही है। 

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