Orthogonality of Circles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Orthogonality of Circles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

यदि 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2 हो तो दो वृत्त x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0 और x2 + y2 + 2g2x + 2f2y + c2 = 0 लंबवत रूप से काटते है

गणना:

माना वृत्त का समीकरण x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0

चूँकि, इसने वृत्त x2 + y2 - 4 = 0 को लंबवत रूप से काटा,

⇒ 2(0)(g) + 2(0)(f) = c - 4

⇒ c = 4

वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + 4 = 0 है

जो बिंदु से होकर गुजरता है (a, b)

⇒ a2 + b2 + 2ga + 2fb + 4 = 0

इस वृत्त का केंद्र = (-g,-f)

⇒वृत्त के केंद्र का स्थान है a² + b² + 2(-x)a + 2(-y)b + 4 = 0

⇒ 2ax + 2by - (a2 + b2 + 4) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

अवधारणा :

लांबिकता की स्थिति = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2

गणना:

माना कि उस लांबिक वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है

दिया हुआ: वृत्त का केंद्र (2, 3) है और यह एक और वृत्त x² + y² + 4x - 8y + 16 = 0 को लंबकोणतः प्रतिच्छेदित करता है।

तो g1 = - 2, f1 = - 3, g2 = 2, f2 = - 4, c1 = c और c2 = 16

दिए गए वृत्त के साथ लांबिकता की स्थिति को लागू करके -

⇒ 2( - 2)(2) + 2.( - 3). ( - 4) = c + 16

⇒ c = 0

तो वांछित समीकरण x² + y² - 4x - 6y = 0 होगा

गणना:

लांबिकता की स्थिति = 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂

गणना:

दिया हुआ: वृत्त x² + y² + 8x - 14y + p = 0 और x² + y² + 12x + 6y + q = 0 हैं

तो g₁ = 4, g₂ = 6, f₁ = - 7, f₂ = 3, c₁ = p, c₂ = q

2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂ = 2. (4). (6) + 2. ( - 7). (3) = 6

तो c₁ + c₂ = p + q = 6

इसलिए 5p + 5q = 5(p + q) = 5×6 = 30

अवधारणा :

• लांबिकता की स्थिति = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2

गणना:

केंद्र रेखाओं x + y = 1 और y = 2 के प्रतिच्छेदन पर स्थित है

तो प्रतिच्छेदन बिंदु = (-1, 2) = (-g, -f)

तो g = 1, f = -2

दिया गया वृत्त = x² + y² - 9 = 0

माना कि उस लांबिक वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है

स्थिति 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2 के लिए जाँच करके

⇒ 2. g. (0) + 2. f. (0) = c - 9

⇒ c = 9

तो g = 1, f = -2 और c = 9

वृत्त की त्रिज्या = $\sqrt{g^2+f^2-c}$ = $\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2-9}$

अवधारणा:

• लांबिक वृत्तों की स्पर्शरेखाएँ एक दूसरे के केंद्र से गुजरती हैं।
• बिंदुओं (x1,y1) और (x2,y2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिभुज ABC में 

AC2 + BC2 = AB2

⇒ r22 + r12 = (h - 0)2 + (k - 0)2

⇒ r22 + 9 = h2 + k2

⇒ ​r22 = h2 + k2 - 9       -----(1)

चूंकि दिया गया वृत्त बिंदु (1, 3) से गुजरता है,

इसलिए बिंदु (1, 3) और केंद्र (h, k) के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी।

⇒ (h - 1)2 + (k - 3)2 = r22

समीकरण (1) से

⇒ (h - 1)2 + (k - 3)2 + 9 = h2 + k2

⇒ (h - 1)2 + (k - 3)2 + 9 = h2 + k2

⇒ h2 - 2h + 1 + k2 - 6k + 9 + 9 = h2 + k2

⇒ 2h + 6k - 19 = 0

तो उपरोक्त समीकरण में (x, y) द्वारा (h, k) को बदलकर हम केंद्र का बिन्दुपथ प्राप्त करते हैं।

इसलिए केंद्र का बिन्दुपथ = 2x + 6y - 19 = 0 है।

अवधारणा:

• लांबिक वृत्तों की स्पर्शरेखाएँ एक दूसरे के केंद्र से गुजरती हैं।
• बिंदुओं (x1,y1) और (x2,y2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिभुज ABC में 

AC2 + BC2 = AB2

⇒ r22 + r12 = (h - 0)2 + (k - 0)2

⇒ r22 + 9 = h2 + k2

⇒ ​r22 = h2 + k2 - 9       -----(1)

चूंकि दिया गया वृत्त बिंदु (1, 3) से गुजरता है,

इसलिए बिंदु (1, 3) और केंद्र (h, k) के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी।

⇒ (h - 1)2 + (k - 3)2 = r22

समीकरण (1) से

⇒ (h - 1)2 + (k - 3)2 + 9 = h2 + k2

⇒ (h - 1)2 + (k - 3)2 + 9 = h2 + k2

⇒ h2 - 2h + 1 + k2 - 6k + 9 + 9 = h2 + k2

⇒ 2h + 6k - 19 = 0

तो उपरोक्त समीकरण में (x, y) द्वारा (h, k) को बदलकर हम केंद्र का बिन्दुपथ प्राप्त करते हैं।

इसलिए केंद्र का बिन्दुपथ = 2x + 6y - 19 = 0 है।

अवधारणा :

लांबिकता की स्थिति = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2

गणना:

माना कि उस लांबिक वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है

दिया हुआ: वृत्त का केंद्र (2, 3) है और यह एक और वृत्त x² + y² + 4x - 8y + 16 = 0 को लंबकोणतः प्रतिच्छेदित करता है।

तो g1 = - 2, f1 = - 3, g2 = 2, f2 = - 4, c1 = c और c2 = 16

दिए गए वृत्त के साथ लांबिकता की स्थिति को लागू करके -

⇒ 2( - 2)(2) + 2.( - 3). ( - 4) = c + 16

⇒ c = 0

तो वांछित समीकरण x² + y² - 4x - 6y = 0 होगा

गणना:

लांबिकता की स्थिति = 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂

गणना:

दिया हुआ: वृत्त x² + y² + 8x - 14y + p = 0 और x² + y² + 12x + 6y + q = 0 हैं

तो g₁ = 4, g₂ = 6, f₁ = - 7, f₂ = 3, c₁ = p, c₂ = q

2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂ = 2. (4). (6) + 2. ( - 7). (3) = 6

तो c₁ + c₂ = p + q = 6

इसलिए 5p + 5q = 5(p + q) = 5×6 = 30

अवधारणा:

दो वृत्त C1 = 0 और C2 = 0 को लांबिक कहा जाता है यदि और यदि केवल 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2

तो, विकल्प A सही उत्तर है।

अवधारणा:

• वृत्त केवल दो लंबवत रेखाओं को लंबकोणतः केवल तभी काट सकता है यदि उसका केंद्र दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर हो।
• लांबिकता की स्थिति = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2

गणना:

रेखाओं x = -2 और y = -1 के प्रतिच्छेदन का बिंदु (-2, -1) होगा

अतः लांबिक वृत्त = (x + 2)² + (y + 1)² = r ²

= x2 + y2 + 4x + 2y + 5 - r2 = 0

यह वृत्त वृत्त x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0 के लिए लांबिक है, तो लांबिकता की स्थिति को लागू किया जाएगा अर्थात 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2।

वृत्त का सामान्य रूप = x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

= 2. (2)(-1) + 2. (1)(-1) = 5- r2 + 1

= r2 = 12

तो लांबिक वृत्त का समीकरण = x² + y² + 4x + 2y + 5- r ² = 0

= x2 + y2 + 4x + 2y + 5 - 12

= x2 + y2 + 4x + 2y-7

संकल्पना:

कोई वक्र जो दिए गए वक्रों की श्रेणी के प्रत्येक सदस्य को समकोण पर काटता है, उसे श्रेणी का लंबकोणीय प्रक्षेपपथ कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है, वक्रों की श्रेणी $y=a{x}^2$  है। ....(1)

⇒$\mathrm{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{{\mathrm{x}}^2}}$

x के संबंध में समीकरण (1) का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=2\mathrm{a}\mathrm{x}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=2{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{x}$

⇒${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=2{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}}$

चूँकि, कोई वक्र जो दिए गए वक्रों की श्रेणी के प्रत्येक सदस्य को समकोण पर काटता है, उसे श्रेणी का लंबकोणीय प्रक्षेपपथ कहा जाता है। 

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}$

⇒${\displaystyle \frac{-\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{y}}{\mathrm{x}}}$

उपरोक्त अवकल समीकरण को हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒$-\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=2\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{y}$

⇒ ${\displaystyle \frac{-{\mathrm{x}}^2}{2}}=2.{\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2}{2}}+{\mathrm{c}}_1^2$

⇒$-{\mathrm{x}}^2=2{\mathrm{y}}^2+2{\mathrm{c}}_1^2$

⇒${\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{y}}^2={\mathrm{c}}^2$

अतः वक्र $\mathrm{y}=\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2$ की श्रेणी का लंबकोणीय प्रक्षेपपथ ${\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{y}}^2={\mathrm{c}}^2$ है। 

अवधारणा :

• लांबिकता की स्थिति = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2

गणना:

केंद्र रेखाओं x + y = 1 और y = 2 के प्रतिच्छेदन पर स्थित है

तो प्रतिच्छेदन बिंदु = (-1, 2) = (-g, -f)

तो g = 1, f = -2

दिया गया वृत्त = x² + y² - 9 = 0

माना कि उस लांबिक वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है

स्थिति 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2 के लिए जाँच करके

⇒ 2. g. (0) + 2. f. (0) = c - 9

⇒ c = 9

तो g = 1, f = -2 और c = 9

वृत्त की त्रिज्या = $\sqrt{g^2+f^2-c}$ = $\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2-9}$

अवधारणा:

• लांबिकता की स्थिति = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2

गणना:

C1: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 32 ⇒ x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0

C2: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 42⇒ x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0

लांबिक वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है

∵ (4,6) से गुजरता है, इसलिए उपरोक्त समीकरण में x = 4 और y = 6 को प्रतिस्थापित करके

हम प्राप्त करते हैं, 8g + 12f + c = -52       …… (i)

अब दोनों वृत्तों के साथ लांबिकता की स्थिति की जांच करें = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2।

∵ वृत्त x² + y² - 2x - 4y - 4 = 0 और x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 लांबिक हैं

⇒ 2.g. (-1) + 2.f. (-2) = c - 4

= 2g + 4f - c = 4       ……(ii)

∵ वृत्त C2 : x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 और x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 लांबिक हैं

⇒ 2g(-2) + 2f(-3) = c - 3

4g + 6f + c = 3       ……(iii)

समीकरणों (i), (ii) और (iii) को हल करने पर; हमें मिला -

$g=26,f=\frac{-53}{2},c=58$

लांबिक वृत्त के वांछित समीकरण होंगे-

${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2.\left(26\right)\mathrm{x}+2.\left(\frac{-53}{2}\right)\mathrm{y}+58=0$

⇒ x2 + y2 + 52x-53y + 58 = 0

अवधारणा:

लांबिकता की स्थिति = 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂

Calculation:

लांबिकता की स्थिति को लागू करके = 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂

$C_1:x^2+y^2+4x-2y+4=0$

$C_2:x^2+y^2-\alpha x-\frac{3}{2}y+6=0$

$2.\left(2\right).\left(\frac{-\alpha }{2}\right)+2.\left(-1\right).\left(\frac{-3}{4}\right)=4+6$

$\alpha =-\frac{17}{4}$

गणना:

• लांबिक वृत्त C₁ = 0 और C₂ = 0 के लिए प्रतिच्छेदन के बिंदु पर C₁ = 0 की स्पर्शरेखा वृत्त C₂ = 0 के लिए लंबवत हो जाएगी।
• तो दोनों स्पर्शरेखा एक दूसरे के लिए लंब बन जाएंगी अर्थात लंबों और स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण समान अर्थात 90 डिग्री ।