Metric Spaces MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Metric Spaces - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

(i) एक संहत दूरीक समष्टि अनुक्रमतः संहत होती है।

(ii) संहत दूरीक समष्टि का संवृत उपसमुच्चय संहत होता है।

(iii) एक संहत दूरीक समष्टि बोलजानो-वाइअरस्ट्रास गुणधर्म का पालन करती है।

(iv) एक दूरीक समष्टि में प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संहत होता है।

इसलिए, विकल्प (3) गलत है।

स्पष्टीकरण:

d : R2 × R2 → R को d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2

(i) चूँकि सभी x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2 के लिए,  |x1 - y1| ≥ 0, |x2 - y2| ≥ 0

इसलिए, सभी x, y ∈ ℝ के लिए d(x, y) ≥ 02

(ii) d(x, y) = 0

⇔ |x1 - y1| + |x2 - y2| = 0

⇔  x1 = y1, x2 = y2 

⇔ सभी x, y ∈ ℝ2 के लिए, x = y 

(iii) d(y, x) = |y1 - x1| + |y2 - x2|

                = |x1 - y1| + |x2 - y2|

                = सभी x, y ∈ ℝ2 के लिए, d(x, y) 

(iv) मान लीजिए x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ ℝ2

तब d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2|

                  = |x1 - z1 + z1 - y1| + |x2 - z2 + z2- y2|

                  ≤ |x1 - z1| + |z1 - y1| + |x2 - z2| + |z2- y2|

                  = d(x, z) + d(z, y)

अर्थात, सभी x, y, z ∈ ℝ2 के लिए, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) 

∴ d, R2 पर एक दूरीक है। 

अतः विकल्प (1) सत्य है।

व्याख्या:

प्रत्येक fn(x) = xe−nx, [0, 1] पर एक संतत फलन है क्योंकि यह दो संतत फलनों का गुणनफल है: x और .

फलनों का एक समुच्चय S सम-संतत होता है यदि, प्रत्येक 0 \) के लिए, एक 0\) मौजूद है ऐसा कि

सभी और सभी x, y [0, 1] के लिए जहाँ , हमारे पास है।

fn(x) = xe−nx के लिए:

1. जैसे ही n बढ़ता है, पद x > 0 के लिए शून्य तक बहुत तेज़ी से घटता है, इसलिए फलन x = 0 के पास केंद्रित हो जाते हैं।

2. किसी भी दो बिंदु x, y जो एक-दूसरे के करीब हैं, अंतर को पर्याप्त रूप से छोटा चुनकर छोटा बनाया जा सकता है जो सभी n के लिए समान रूप से काम करता है, क्योंकि गुणक e−nx निश्चित x, y के लिए x और y के पास छोटे बदलावों को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करता है।

इस प्रकार, S फलनों का एक सम-संतत समुच्चय है। इसलिए, विकल्प 1 सही है।

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या S संवृत है, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या इसमें द्वारा परिभाषित मीट्रिक में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।

जैसे ही ,fn(x) = xe−nx बिंदुवार शून्य फलन f(x) = 0 पर [0, 1] में अभिसरित होता है क्योंकि x > 0 के लिए।

हालांकि, f(x) = 0, S में नहीं है क्योंकि किसी भी परिमित n के लिए (x) सर्वसम रूप से शून्य नहीं है।

इसलिए, S, C([0, 1]) में संवृत नहीं है क्योंकि इसमें इसकी बिंदुवार सीमा f(x) = 0 शामिल नहीं है। इसलिए, विकल्प 2 गलत है।

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या S, C([0, 1]) में परिबद्ध है, हम प्रत्येक के लिए की गणना करते हैं।

fn(x) = xe−nx के लिए, अधिकतम मान के पास होता है।

प्रतिस्थापित करने पर:



चूँकि जैसे ही , फलन (x) एक स्थिरांक M = द्वारा समान रूप से परिबद्ध हैं।

इस प्रकार, S, C([0, 1]) में परिबद्ध है। इसलिए, विकल्प 3 सही है।

C([0, 1]) का एक सबसेट संहत होता है यदि वह संवृत, परिबद्ध और सम-संतत हो (आर्ज़ेला-अस्कोली प्रमेय द्वारा)। हमने दिखाया है कि:

S परिबद्ध है, S सम-संतत है

हालांकि, S संवृत नहीं है।

चूँकि S संवृत नहीं है, इसलिए यह संहत नहीं हो सकता है। इसलिए, विकल्प 4 गलत है।

इसलिए विकल्प 1) और 3) सही हैं।

स्पष्टीकरण -

(4) यह कथन सत्य है।

यह दर्शाने के लिए कि X परिबद्ध है, हमें एक वास्तविक संख्या M इस प्रकार ज्ञात करने की आवश्यकता है कि X में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी M से कम या उसके बराबर हो।

आइए M = 1 लीजिए। तब, किसी x, y ∈ X के लिए, हमें प्राप्त है:

d(x,y) =  

इसका अर्थ यह है कि दूरीक समष्टि X परिबद्ध है।

1) यह कथन असत्य है।

दूरीक समष्टि X संहत नहीं है क्योंकि यह संवृत्त नहीं है।

2) यह कथन असत्य है।

दूरीक समष्टि X पूर्ण नहीं है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम , X में कॉची है, लेकिन यह X में किसी भी बिंदु पर अभिमुख नहीं है।

3) यह कथन असत्य है।

दूरीक समष्टि X संयोजित नहीं है। इसमें दो भिन्न घटक (0,1) और (1,∞) सम्मिलित हैं।

स्पष्टीकरण -

A) यह कथन सत्य है।

सभी सतत फलनों f: [0,1] → [0,1] के समुच्चय में सर्वोच्च दूरीक के साथ, प्रत्येक कॉची अनुक्रम समुच्चय में एक सतत फलन में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए, समुच्चय पूर्ण है।

B) यह कथन असत्य है।

हालाँकि समुच्चय पूर्ण है, यह संहत नहीं है। अचर फलनों के अनुक्रम पर विचार कीजिए, जिसमें कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है।

C) यह कथन असत्य है।

समुच्चय का प्रत्येक परिबद्ध उपसमुच्चय संहत नहीं है। उदाहरण के लिए, अचर फलनों के समुच्चय पर विचार कीजिए, जो परिबद्ध है लेकिन संहत नहीं है।

D) यह कथन असत्य है।

समुच्चय आवश्यक रूप से संयोजित नहीं है। इसे दो असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जैसे अचर फलनों का समुच्चय और उन फलनों का समुच्चय जो अचर नहीं हैं।

अतः, विकल्प (1) सत्य है।

व्याख्या -

यदि दूरीक समष्टि (X, d) में बिंदुओं के प्रत्येक युग्म के बीच कम से कम एक कल्पांतरी पथ होता है, तो (X, d) को कल्पांतरी दूरीक समष्टि या कल्पांतरी समष्टि  कहा जाता है।

"कल्पांतरी" किसी समष्टि में दो बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा पथ होता है, जो समष्टि की दूरीक के सापेक्ष होता है। उदाहरण के लिए, एक सपाट तल पर, दो बिंदुओं के बीच का कल्पांतरी पथ एक सीधी रेखा में होता है, जबकि एक गोले (पृथ्वी की सतह की तरह) पर, कल्पांतरी पथ एक विस्तृत वृत्त पथ होता है।

अतः विकल्प (i) सही है।

व्याख्या:

एक दूरीक समष्टि से दूसरे f तक एक फलन: A → B, p ∈ A पर सतत है, यदि सभी Є > 0 के लिए, ∂ > 0 विद्यमान है जैसे कि d_A(x, p)

इस स्थिति में, A में बिंदु p से x की दूरी ∂ से कम है और f के अंतर्गत x के प्रतिबिंब की B में f के अंतर्गत p के प्रतिबिंब से दूरी Є से कम होनी चाहिए।

संकल्पना:

एक आव्यूह समष्टि (E, d) को पूर्ण कहा जाता है यदि (E, d) में प्रत्येक कॉची अनुक्रम (E, d) में अभिसरण होता है।

स्पष्टीकरण:

एक पूर्ण आव्यूह समष्टि में,

प्रत्येक कॉची अनुक्रम की एक ही स्थान के भीतर एक सीमा होती है (अर्थात, एक बिंदु पर परिवर्तित होती है)।

यह गुणधर्म विश्लेषण में मौलिक है और इसका उपयोग कार्यों और अनुक्रमों के विभिन्न समष्टियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि बानाच समष्टि और हिल्बर्ट समष्टि, जहाँ कुछ अनुक्रमों के अभिसरण के लिए पूर्णता आवश्यक है।

स्पष्टीकरण:

दशांश समष्टि के परिणाम से, यदि (X, d) एक दशांश समष्टि है और f, g : X →  सतत फलन है, जहाँ  सामान्य दशांश से इस प्रकार सुसज्जित है कि f और g, x ∈ M पर सतत हैं, तब f + g, f - g, fg, x ∈ M पर सतत है

अतः, सभी विकल्प सही हैं

(4) सही है

संकल्पना:

हम जानते हैं कि यदि X एक दूरीक समष्‍टि है और {xn}, X में एक अनुक्रम है

(i) यदि {xn} संसृत है तो {xn} एक कॉची अनुक्रम है।

(ii) यदि {xn} एक कॉची अनुक्रम है तो {xn} परिबद्ध है।

(iii) यदि {xn} एक कॉची अनुक्रम है और यदि {xn} का संसृत अनुवर्ती है तो {xn} संसृत है।

स्पष्टीकरण:

प्रत्यक्ष परिणामों द्वारा,

केवल विकल्प (1) सही है

संकल्पना:

एक दूरीक समष्टि एक क्रमित युग्म (M, d) है जहाँ एम एक समुच्चय है और d, M पर एक दूरीक है, अर्थात, एक फलन डी: M × M →  सभी बिंदुओं x, y, z ∈ M के लिए निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करता है

(i) d(x,x)=0
(ii) x ≠ y तब d(x,y) > 0
(iii) d(x, y)=d(y, x)

(iv) d(x,z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

स्पष्टीकरण:

विकल्प (1), (3), (4) के लिए

दूरीक समष्टि के लिए सभी प्रतिबंध पूर्ण होते हैं और वे एक दूरीक समष्टि बनाते हैं।
(2): d(f, g) = inf(|f(x) - g(x)| : x ∈ ​[0, 1])

माना f(x) =  और g(x) = , x ∈ ​[0, 1]

यहाँ d(f, g) =  inf(|f(x) - g(x)| : x ∈ ​[0, 1]) = 0

लेकिन f(x) ≠ g(x)

इसलिए यह एक दूरीक समष्टि नहीं बनाता है।

(2) सही विकल्प है

स्पष्टीकरण -

A) यह कथन सत्य है।

सभी सतत फलनों f: [0,1] → [0,1] के समुच्चय में सर्वोच्च दूरीक के साथ, प्रत्येक कॉची अनुक्रम समुच्चय में एक सतत फलन में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए, समुच्चय पूर्ण है।

B) यह कथन असत्य है।

हालाँकि समुच्चय पूर्ण है, यह संहत नहीं है। अचर फलनों के अनुक्रम पर विचार कीजिए, जिसमें कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है।

C) यह कथन असत्य है।

समुच्चय का प्रत्येक परिबद्ध उपसमुच्चय संहत नहीं है। उदाहरण के लिए, अचर फलनों के समुच्चय पर विचार कीजिए, जो परिबद्ध है लेकिन संहत नहीं है।

D) यह कथन असत्य है।

समुच्चय आवश्यक रूप से संयोजित नहीं है। इसे दो असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जैसे अचर फलनों का समुच्चय और उन फलनों का समुच्चय जो अचर नहीं हैं।

अतः, विकल्प (1) सत्य है।

स्पष्टीकरण -

सामान्यतया, मेट्रिक समष्टि के संदर्भ में एक संकुचन एक मैपिंग T: E → E है, जिसमें एक नियतांक 0 ≤ k

और इस मैप को संकुचन मैपिंग कहा जाता है।