Menalus Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Menalus Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

मेनेलॉस प्रमेय एक त्रिभुज की तीन भुजाओं (आवश्यकता होने पर विस्तृत) में से प्रत्येक भुजा पर बिंदुओं की समरैखिकता के साथ कार्य करता है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेदित होती है और CA, E पर प्रतिच्छेदित होती है और भुजा BC, D से उत्पन्न होता है, तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

दिया गया है:

AB = 5 cm, BC = 6 cm , CA = 7 cm , AF = 2 cm , AE = 4 cm 

गणना:

त्रिभुज से, BD = BC + CD

$\frac{BC+CD}{CD}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

$\frac{6+x}{x}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=-1$

$\frac{6+x}{x}\times \frac{1}{2}=-1$

$\frac{6+x}{x}=-2$

x = -2 सेमी 

सूचना: ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि दूरी CD त्रिभुज ABC के बाहर है। 

इसलिए, दूरी का परिमाण CD = 2 cm 

∴ BD = BC + CD = 6 + 2 = 8 cm 

संकल्पना:

मेनेलॉस प्रमेय एक त्रिभुज की तीन भुजाओं (आवश्यकता होने पर विस्तृत) में से प्रत्येक भुजा पर बिंदुओं की समरैखिकता के साथ कार्य करता है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेदित होती है और CA, E पर प्रतिच्छेदित होती है और भुजा BC, D से उत्पन्न होता है, तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

दिया गया है:

AB = 5 cm, BC = 6 cm , CA = 7 cm , AF = 2 cm , AE = 4 cm 

गणना:

त्रिभुज से, BD = BC + CD

$\frac{BC+CD}{CD}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

$\frac{6+x}{x}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=-1$

$\frac{6+x}{x}\times \frac{1}{2}=-1$

$\frac{6+x}{x}=-2$

x = -2 सेमी 

सूचना: ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि दूरी CD त्रिभुज ABC के बाहर है। 

इसलिए, दूरी का परिमाण CD = 2 cm 

∴ BD = BC + CD = 6 + 2 = 8 cm 

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित भुजाओं) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेद करती है और CA, E पर प्रतिच्छेद करती है और भुजा BC, D पर उत्पन्न होती है तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

गणना:

ΔABC पर विचार करें, फिर D, E और F क्रमशः भुजा CA, AB और BC पर स्थित बिंदु हैं और रचना द्वारा संरेखीय हैं।

मेनेलॉस प्रमेय से,

$\frac{AE}{EB}.\frac{BF}{FC}.\frac{CD}{DA}=1....(i)$

धारणा से,

AE = EB = 2, DA = 1 और FC = FB + BC = BF + 3

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$AC=\sqrt{B{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$

और इसलिए CD = AC - AD = 5 - 1 = 4

इन आँकड़ों को (i) में प्रतिस्थापित करने पर निम्न प्राप्त होता है

$\frac{2}{2}.\frac{BF}{BF+3}.\frac{4}{1}=1$

BF के लिए हल करने पर BF = 1 प्राप्त होता है।

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित भुजाओं) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेद करती है और CA, E पर और भुजा BC को D पर प्रतिच्छेद करती है, तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = AC

FE = 2 ED

गणना:

Δ AFE में, BCD को तिर्यक रेखा मान लीजिए जो AF, AE, FE को क्रमशः B, C और D पर प्रतिच्छेद करती है।

FE = 2 ED (दिया गया है)

⇒ DF = 3 × ED

⇒ $\frac{ED}{DF}=\frac{1}{3}$       .....(i)

∴ Δ ABC में मेनेलॉस प्रमेय द्वारा

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

⇒ $\frac{BD}{DC}\times \frac{AC}{CE}\times \frac{ED}{DF}=-1$

⇒ $\frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{CE}\times \frac{ED}{DF}=-1$

चूँकि AB = AC

$\frac{FB}{CE}\times \frac{ED}{DF}=-1$

⇒ $\frac{FB}{CE}\times \frac{1}{3}=-1$  (समीकरण (i) से)

⇒ $\frac{FB}{CE}=-\frac{3}{1}$

⇒ $\frac{FB}{EC}=\frac{3}{1}$

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित भुजाओं) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेद करती है और CA, E पर प्रतिच्छेद करती है और भुजा BC, D पर उत्पन्न होती है तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार,

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

गणना:

ΔAXC और उसकी तिर्यक रेखा BRY पर विचार कीजिए।

मेनेलॉस प्रमेय से,

$\frac{AR}{RX}.\frac{XB}{BC}.\frac{CY}{YA}=-1$

इस प्रकार

$\frac{BC}{XB}=\frac{AR}{RX}.\frac{CY}{YA}=-\frac{q}{p}$

$\mathrm{i},\mathrm{e}.\frac{\mathrm{B}\mathrm{X}+\mathrm{X}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{X}}=-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}$

अगर इसका पालन करता है

$1+\frac{XC}{BX}=-\frac{q}{p}$

$\frac{XC}{BX}=-\frac{q}{p}-1=\frac{-q-p}{p}$

$\frac{BX}{XC}=-\frac{p}{q+p}.$

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित भुजाओं) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेद करती है और CA, E पर प्रतिच्छेद करती है और भुजा BC, D पर उत्पन्न होती है तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार,

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

गणना:

हमारे पास निम्न है

$\frac{DM}{BD}=\frac{DM}{BM+MD}=\frac{2MB}{3MB}$ (DM = 2 MB)

= 2/3

यानी $\frac{DM}{BD}=\frac{2}{3}.....(i)$

आगे $\frac{CX}{XM}=\frac{CM-XM}{XM}=\frac{1}{2}\left(\frac{AC}{XM}\right)-1$

(AM = MC)

$=\frac{1}{2}(3)-1(\frac{AC}{MX}=3)$

$=\frac{1}{2}$

यानी $\frac{CX}{XM}=\frac{1}{2}....(ii)$

अब ΔMBC और बिंदु D, X और Y पर विचार करें, (i), (ii) और धारणा $\frac{BY}{YC}=3$ का प्रयोग करके 

$\frac{BY}{YC}.\frac{CX}{XM}.\frac{MD}{DM}=3.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=1$

इसलिए मेनेलॉस प्रमेय के विलोम से D, X और Y संरेखीय हैं।

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेदित होती है और CA, E पर प्रतिच्छेदित होती है और भुजा BC को D तक बढ़ाया जाता है, तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=1$

दिया गया है:

DC : CB = 1 : 3

BF : FA = 1 : 2

गणना:

ΔABD में तिर्यक CF के साथ मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग करके

$\frac{AR}{RD}\times \frac{DC}{CB}\times \frac{BF}{FA}=1$

⇒ $\frac{AR}{RD}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=1$

⇒ $\frac{RD}{AR}=\frac{1}{6}$

आकृति से हम कह सकते हैं कि

$\mathrm{\Delta }ABC=\frac{1}{3}\times \mathrm{\Delta }ABC$

⇒ $\mathrm{\Delta }ARC=\frac{6}{7}\times \mathrm{\Delta }ADC=\frac{2}{7}\times \mathrm{\Delta }ABC$

⇒ $\frac{\mathrm{\Delta }ARC}{\mathrm{\Delta }DRC}=\frac{6}{1}$

⇒ $\mathrm{\Delta }PQR=\mathrm{\Delta }ABC-\frac{2\times \mathrm{\Delta }ABC}{7}-\frac{2\times \mathrm{\Delta }ABC}{7}-\frac{2\times \mathrm{\Delta }ABC}{7}=\frac{1\times \mathrm{\Delta }ABC}{7}$

तो, ΔPQR का क्षेत्रफल = Δ ABC के क्षेत्रफल का ​$\frac{1}{7}$

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित भुजाओं) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेद करती है और CA, E पर प्रतिच्छेद करती है और भुजा BC, D पर उत्पन्न होती है तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार,

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

गणना:

ΔABC पर विचार करें, तो D, E और F क्रमशः CA, AB और BC की ओर स्थित बिंदु हैं, और रचना द्वारा संरेख हैं। मेनेलॉस प्रमेय द्वारा,

$\frac{AE}{EB}.\frac{BF}{FC}.\frac{CD}{DA}=1....(i)$

धारणा से, AE = EB = 2, DA = 1 और FC = FB + BC = BF + 3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$AC=\sqrt{B{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$

और तो CD = AC - AD = 5 - 1 = 4 है इन आँकड़ों को (i) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

$\frac{2}{2}.\frac{BF}{BF+3}.\frac{4}{1}=1$

उपज BF BF के लिए हल करना = 1

संकल्पना:

मेनेलॉस प्रमेय एक त्रिभुज की तीन भुजाओं (आवश्यकता होने पर विस्तृत) में से प्रत्येक भुजा पर बिंदुओं की समरैखिकता के साथ कार्य करता है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेदित होती है और CA, E पर प्रतिच्छेदित होती है और भुजा BC, D से उत्पन्न होता है, तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

दिया गया है:

AB = 5 cm, BC = 6 cm , CA = 7 cm , AF = 2 cm , AE = 4 cm 

गणना:

त्रिभुज से, BD = BC + CD

$\frac{BC+CD}{CD}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

$\frac{6+x}{x}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=-1$

$\frac{6+x}{x}\times \frac{1}{2}=-1$

$\frac{6+x}{x}=-2$

x = -2 सेमी 

सूचना: ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि दूरी CD त्रिभुज ABC के बाहर है। 

इसलिए, दूरी का परिमाण CD = 2 cm 

∴ BD = BC + CD = 6 + 2 = 8 cm 

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित भुजाओं) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेद करती है और CA, E पर प्रतिच्छेद करती है और भुजा BC, D पर उत्पन्न होती है तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

गणना:

ΔABC पर विचार करें, फिर D, E और F क्रमशः भुजा CA, AB और BC पर स्थित बिंदु हैं और रचना द्वारा संरेखीय हैं।

मेनेलॉस प्रमेय से,

$\frac{AE}{EB}.\frac{BF}{FC}.\frac{CD}{DA}=1....(i)$

धारणा से,

AE = EB = 2, DA = 1 और FC = FB + BC = BF + 3

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$AC=\sqrt{B{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$

और इसलिए CD = AC - AD = 5 - 1 = 4

इन आँकड़ों को (i) में प्रतिस्थापित करने पर निम्न प्राप्त होता है

$\frac{2}{2}.\frac{BF}{BF+3}.\frac{4}{1}=1$

BF के लिए हल करने पर BF = 1 प्राप्त होता है।

अवधारणा:

मेनेलॉस की प्रमेय त्रिभुज की तीनों भुजाओं (आवश्यक होने पर विस्तारित भुजाओं) में से प्रत्येक पर बिंदुओं की संरेखता से संबंधित है।

यदि रेखा AB, F पर प्रतिच्छेद करती है और CA, E पर और भुजा BC को D पर प्रतिच्छेद करती है, तो मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, 

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = AC

FE = 2 ED

गणना:

Δ AFE में, BCD को तिर्यक रेखा मान लीजिए जो AF, AE, FE को क्रमशः B, C और D पर प्रतिच्छेद करती है।

FE = 2 ED (दिया गया है)

⇒ DF = 3 × ED

⇒ $\frac{ED}{DF}=\frac{1}{3}$       .....(i)

∴ Δ ABC में मेनेलॉस प्रमेय द्वारा

$\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}=-1$

⇒ $\frac{BD}{DC}\times \frac{AC}{CE}\times \frac{ED}{DF}=-1$

⇒ $\frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{CE}\times \frac{ED}{DF}=-1$

चूँकि AB = AC

$\frac{FB}{CE}\times \frac{ED}{DF}=-1$

⇒ $\frac{FB}{CE}\times \frac{1}{3}=-1$  (समीकरण (i) से)

⇒ $\frac{FB}{CE}=-\frac{3}{1}$

⇒ $\frac{FB}{EC}=\frac{3}{1}$