Inverse of Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse of Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on May 16, 2025

पाईये Inverse of Matrices उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Inverse of Matrices MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Inverse of Matrices MCQ Objective Questions

Inverse of Matrices Question 1:

यदि A = (aij)2×2 तथा aij={i2+j2;ij ij;i=j}है, तब A-1 बराबर है -

  1. [05 50]
  2. [015 150]
  3. [05 50]
  4. [150 015]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [015 150]

Inverse of Matrices Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

A = (aij)2×2 और aij={i2+j2;ij ij;i=j}

तब

A = [a11a12a21a22] = [0550]
 
|A| = 0 - 25 = -25
 
A-1 = 1|A|adj(A)
= 125[0550]
= [015 150]
 
अतः (2) सत्य है।

Inverse of Matrices Question 2:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल ________ के लिए संभव है

  1. एकवचन मैट्रिक्स
  2. शून्य मैट्रिक्स
  3. सममित मैट्रिक्स
  4. गैर-एकवचन मैट्रिक्स

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : गैर-एकवचन मैट्रिक्स

Inverse of Matrices Question 2 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

एकवचन मैट्रिक्स: सारणिक वाला वर्ग मैट्रिक्स 0 के बराबर होता है

गैर-एकवचन मैट्रिक्स: सारणिक वाला वर्ग मैट्रिक्स शून्य के बराबर नहीं होता है।

गणना:

A-1 = adj(A)/ |A|

यदि सारणिक A = 0 तो A-1 अस्तित्व में नहीं है।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल गैर-एकवचन मैट्रिक्स के लिए संभव है।

∴ विकल्प 4 सही है

Inverse of Matrices Question 3:

माना A = [1251]और A-1 = xA + yI, तो x और y के मान हैं

  1. x=111,y=211
  2. x=111,y=211
  3. x=111,y=211
  4. x=111,y=211

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x=111,y=211

Inverse of Matrices Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

आव्यूह का व्युत्क्रम: एक n × n आव्यूह का व्युत्क्रम निम्न द्वारा दिया जाता है:

A1=adj(A)|A| जहां adj(A) को सहखंडज आव्यूह कहा जाता है।

सहखंडज आव्यूह: यदि Bn× n आव्यूह An× n का एक सहखंड आव्यूह है तब An× n का सहखंडज आव्यूह adj(A) द्वारा दर्शाया जाता है और BT  के रूप में परिभाषित किया जाता है इसलिए, adj(A) = BT

गणना:

दिया गया है: A-1 = x A + y I

A=[1251]A1=adjA|A|=111[1251]

111[1251]=[x2x5xx]+[y00y]

x+y=111,2x=211.

x=111,y=211

Inverse of Matrices Question 4:

रैखिक समीकरणों का एक सेट आव्यूह समीकरण Ax = b द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रणाली के हल के अस्तित्व के लिए आवश्यक स्थिति _________ है

  1. A व्युत्क्रम होना चाहिए
  2. b को A के कॉलम पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए
  3. b को A . के कॉलम से रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : b को A के कॉलम पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए

Inverse of Matrices Question 4 Detailed Solution

व्याख्या:

आव्यूह के गुणों से,

m × n आव्यूह की रैंक हमेशा ≤ min {m, n} होती है

यदि आव्यूह A की रैंक ρ(A) है और आव्यूह b की रैंक ρ(b) है, तो आव्यूह Ab की रैंक निम्न द्वारा दी गई है:

ρ(Ab) ≤ min {ρ(A), ρ(b)}

यदि n × n आव्यूह व्युत्क्रम (|Ab| = 0) है, तो रैंक ≤ n से कम होगी

अद्वितीय हल के लिए :

Ab का सारणिक, |Ab|≠ 0

जहां Ab संवर्धित आव्यूह है

आव्यूह का व्युत्क्रम:

आव्यूह A का व्युत्क्रम निम्न सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है।

A1=Adj(A)|A|

तो, उपरोक्त सूत्र से, आव्यूह  का व्युत्क्रम केवल तभी मौजूद होता है जब 'A' का सारणिक गैर-शून्य हो।

अत : आव्यूह समीकरण के लिए Ax = b है प्रणाली के हल के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त यह है कि 'A' व्युत्क्रम होना चाहिए।

जहाँ, Adj(A) = [सहखंड(A)]T

[सहखंड(A)

[+|a22a23a32a33||a21a23a31a33|+|a21a22a31a32||a12a13a32a33|+|a11a13a31a33||a11a12a31a32|+|a12a13a22a23||a11a13a21a23|+|a11a12a21a22|]

2 × 2 आव्यूह के लिए व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए एक शॉर्ट-कट सूत्र है:

[a11a12a21a22]1=1a11a22a12a21[a22a12a21a11]

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1 , x2 , …, xn शामिल हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित आव्यूहों की रैंक ज्ञात करनी होगी।

A=[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]और [A|B]=[a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm]

A गुणांक आव्यूह है और [A|B] समीकरणों की दी गई प्रणाली का एक संवर्धित आव्यूह कहा जाता है।

हम दिए गए समीकरणों की प्रणाली की संगति इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं:

  • यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अद्वितीय हल है। A की रैंक = संवर्धित आव्यूह की रैंक = n
  • यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और अनंत संख्या में हल हैं।A की रैंक = संवर्धित आव्यूह की रैंक < n
  • यदि आव्यूह A की कोटि संवर्धित आव्यूह के कोटि के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है, और इसका कोई हल नहीं है। A की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि 

Top Inverse of Matrices MCQ Objective Questions

रैखिक समीकरणों का एक सेट आव्यूह समीकरण Ax = b द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रणाली के हल के अस्तित्व के लिए आवश्यक स्थिति _________ है

  1. A व्युत्क्रम होना चाहिए
  2. b को A के कॉलम पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए
  3. b को A . के कॉलम से रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : b को A के कॉलम पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए

Inverse of Matrices Question 5 Detailed Solution

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व्याख्या:

आव्यूह के गुणों से,

m × n आव्यूह की रैंक हमेशा ≤ min {m, n} होती है

यदि आव्यूह A की रैंक ρ(A) है और आव्यूह b की रैंक ρ(b) है, तो आव्यूह Ab की रैंक निम्न द्वारा दी गई है:

ρ(Ab) ≤ min {ρ(A), ρ(b)}

यदि n × n आव्यूह व्युत्क्रम (|Ab| = 0) है, तो रैंक ≤ n से कम होगी

अद्वितीय हल के लिए :

Ab का सारणिक, |Ab|≠ 0

जहां Ab संवर्धित आव्यूह है

आव्यूह का व्युत्क्रम:

आव्यूह A का व्युत्क्रम निम्न सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है।

A1=Adj(A)|A|

तो, उपरोक्त सूत्र से, आव्यूह  का व्युत्क्रम केवल तभी मौजूद होता है जब 'A' का सारणिक गैर-शून्य हो।

अत : आव्यूह समीकरण के लिए Ax = b है प्रणाली के हल के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त यह है कि 'A' व्युत्क्रम होना चाहिए।

जहाँ, Adj(A) = [सहखंड(A)]T

[सहखंड(A)

[+|a22a23a32a33||a21a23a31a33|+|a21a22a31a32||a12a13a32a33|+|a11a13a31a33||a11a12a31a32|+|a12a13a22a23||a11a13a21a23|+|a11a12a21a22|]

2 × 2 आव्यूह के लिए व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए एक शॉर्ट-कट सूत्र है:

[a11a12a21a22]1=1a11a22a12a21[a22a12a21a11]

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1 , x2 , …, xn शामिल हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित आव्यूहों की रैंक ज्ञात करनी होगी।

A=[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]और [A|B]=[a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm]

A गुणांक आव्यूह है और [A|B] समीकरणों की दी गई प्रणाली का एक संवर्धित आव्यूह कहा जाता है।

हम दिए गए समीकरणों की प्रणाली की संगति इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं:

  • यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अद्वितीय हल है। A की रैंक = संवर्धित आव्यूह की रैंक = n
  • यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और अनंत संख्या में हल हैं।A की रैंक = संवर्धित आव्यूह की रैंक < n
  • यदि आव्यूह A की कोटि संवर्धित आव्यूह के कोटि के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है, और इसका कोई हल नहीं है। A की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि 

Inverse of Matrices Question 6:

माना A = [1251]और A-1 = xA + yI, तो x और y के मान हैं

  1. x=111,y=211
  2. x=111,y=211
  3. x=111,y=211
  4. x=111,y=211

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x=111,y=211

Inverse of Matrices Question 6 Detailed Solution

संकल्पना:

आव्यूह का व्युत्क्रम: एक n × n आव्यूह का व्युत्क्रम निम्न द्वारा दिया जाता है:

A1=adj(A)|A| जहां adj(A) को सहखंडज आव्यूह कहा जाता है।

सहखंडज आव्यूह: यदि Bn× n आव्यूह An× n का एक सहखंड आव्यूह है तब An× n का सहखंडज आव्यूह adj(A) द्वारा दर्शाया जाता है और BT  के रूप में परिभाषित किया जाता है इसलिए, adj(A) = BT

गणना:

दिया गया है: A-1 = x A + y I

A=[1251]A1=adjA|A|=111[1251]

111[1251]=[x2x5xx]+[y00y]

x+y=111,2x=211.

x=111,y=211

Inverse of Matrices Question 7:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल ________ के लिए संभव है

  1. एकवचन मैट्रिक्स
  2. शून्य मैट्रिक्स
  3. सममित मैट्रिक्स
  4. गैर-एकवचन मैट्रिक्स

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : गैर-एकवचन मैट्रिक्स

Inverse of Matrices Question 7 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

एकवचन मैट्रिक्स: सारणिक वाला वर्ग मैट्रिक्स 0 के बराबर होता है

गैर-एकवचन मैट्रिक्स: सारणिक वाला वर्ग मैट्रिक्स शून्य के बराबर नहीं होता है।

गणना:

A-1 = adj(A)/ |A|

यदि सारणिक A = 0 तो A-1 अस्तित्व में नहीं है।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल गैर-एकवचन मैट्रिक्स के लिए संभव है।

∴ विकल्प 4 सही है

Inverse of Matrices Question 8:

रैखिक समीकरणों का एक सेट आव्यूह समीकरण Ax = b द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रणाली के हल के अस्तित्व के लिए आवश्यक स्थिति _________ है

  1. A व्युत्क्रम होना चाहिए
  2. b को A के कॉलम पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए
  3. b को A . के कॉलम से रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : b को A के कॉलम पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए

Inverse of Matrices Question 8 Detailed Solution

व्याख्या:

आव्यूह के गुणों से,

m × n आव्यूह की रैंक हमेशा ≤ min {m, n} होती है

यदि आव्यूह A की रैंक ρ(A) है और आव्यूह b की रैंक ρ(b) है, तो आव्यूह Ab की रैंक निम्न द्वारा दी गई है:

ρ(Ab) ≤ min {ρ(A), ρ(b)}

यदि n × n आव्यूह व्युत्क्रम (|Ab| = 0) है, तो रैंक ≤ n से कम होगी

अद्वितीय हल के लिए :

Ab का सारणिक, |Ab|≠ 0

जहां Ab संवर्धित आव्यूह है

आव्यूह का व्युत्क्रम:

आव्यूह A का व्युत्क्रम निम्न सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है।

A1=Adj(A)|A|

तो, उपरोक्त सूत्र से, आव्यूह  का व्युत्क्रम केवल तभी मौजूद होता है जब 'A' का सारणिक गैर-शून्य हो।

अत : आव्यूह समीकरण के लिए Ax = b है प्रणाली के हल के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त यह है कि 'A' व्युत्क्रम होना चाहिए।

जहाँ, Adj(A) = [सहखंड(A)]T

[सहखंड(A)

[+|a22a23a32a33||a21a23a31a33|+|a21a22a31a32||a12a13a32a33|+|a11a13a31a33||a11a12a31a32|+|a12a13a22a23||a11a13a21a23|+|a11a12a21a22|]

2 × 2 आव्यूह के लिए व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए एक शॉर्ट-कट सूत्र है:

[a11a12a21a22]1=1a11a22a12a21[a22a12a21a11]

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1 , x2 , …, xn शामिल हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित आव्यूहों की रैंक ज्ञात करनी होगी।

A=[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]और [A|B]=[a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm]

A गुणांक आव्यूह है और [A|B] समीकरणों की दी गई प्रणाली का एक संवर्धित आव्यूह कहा जाता है।

हम दिए गए समीकरणों की प्रणाली की संगति इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं:

  • यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अद्वितीय हल है। A की रैंक = संवर्धित आव्यूह की रैंक = n
  • यदि आव्यूह A की कोटि एक संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है और यह अज्ञात संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और अनंत संख्या में हल हैं।A की रैंक = संवर्धित आव्यूह की रैंक < n
  • यदि आव्यूह A की कोटि संवर्धित आव्यूह के कोटि के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है, और इसका कोई हल नहीं है। A की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि 

Inverse of Matrices Question 9:

यदि A = (aij)2×2 तथा aij={i2+j2;ij ij;i=j}है, तब A-1 बराबर है -

  1. [05 50]
  2. [015 150]
  3. [05 50]
  4. [150 015]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [015 150]

Inverse of Matrices Question 9 Detailed Solution

व्याख्या:

A = (aij)2×2 और aij={i2+j2;ij ij;i=j}

तब

A = [a11a12a21a22] = [0550]
 
|A| = 0 - 25 = -25
 
A-1 = 1|A|adj(A)
= 125[0550]
= [015 150]
 
अतः (2) सत्य है।
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