Heat and Wave Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Heat and Wave Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

ऊष्मा समीकरण \(\rm \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=0, 0 < x < a, t > 0,\) के स्थायी अवस्था हल के लिए, \(\rm \frac{\partial u}{\partial t}\) = 0

व्याख्या:

\(\rm \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=0, 0 < x < 2, t > 0,\).....(i)

प्रारंभिक प्रतिबंध u(x, 0) = 0, 0 < x < 2 और परिसीमा प्रतिबंध u(0, t) = 1 और u(2, t) = 3 के साथ

स्थायी अवस्था हल रखता है।

इसलिए, \(\rm \frac{\partial u}{\partial t}\) = 0

⇒ u = f(x) (दोनों पक्षों का समाकलन करने पर)

(i) में रखने पर हमें मिलता है

\(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=0\) और u केवल x का फलन है

⇒ \(\frac{d^2u}{d x^2}=0\)

⇒ u = ax + b जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं।

इसलिए, u(x, t) = ax + b

दिया गया है u(0, t) = 1 और u(2, t) = 3

u(0, t) = 1 ⇒ b = 1

और u(2, t) = 3 ⇒ 2a + b = 3 ⇒ 2a + 1 = 3 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1

इसलिए, u(x, t) = x + 1

x = 1 पर, u = 1 + 1 = 2

इसलिए, विकल्प (2) सही है। 

व्याख्या:

\(\frac{\partial θ}{\partial t}=α \frac{\partial^2 θ}{\partial x^2}\)....(i)

मान लीजिये θ(x, t) = X(x)T(t)

तब \(\frac{\partial θ}{\partial t}\) = XT' और \(\frac{\partial^2 θ}{\partial x^2}\) = X''T
इन मानों को (i) में रखने पर हमें मिलता है

XT' = αX''T

⇒ \(\frac{T'}{αT}=\frac{X''}{X}\) = k (मान लीजिये)

k = 0 और k > 0 के लिए हमें तुच्छ हल मिलेगा

मान लीजिये k < 0 और k = - λ²

⇒ \(\frac{T'}{αT}=\frac{X''}{X}\) = - λ2

⇒ T' = -αλ2T....(ii) और X'' = - λ2X ....(iii)

(ii) से

\(\frac{dT}{T}\) = -αλ2dt

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

T = \(c_1e^{-αλ^2t}\).....(iv)

(iii) से हमें मिलता है

X'' = - λ2X

सहायक समीकरण

m² = - λ2 ⇒ m =± λi

सामान्य हल

X = \(c_2\cosλ x+c_3\sinλ x\)....(v)

इसलिए सामान्य हल इस रूप का होगा

θ(x, t) = X(x)T(t) = \(c_1e^{-αλ^2t}\)(\(c_2\cosλ x+c_3\sinλ x\))

θ(x, t) = \(e^{-a λ^2 t}\)(A cos λx + B sin λx).....(vi)

(1) सही है

दिया गया है

सीमा शर्तें

θ(0, t) = 0, t ≥ 0, \(\frac{\partial θ}{\partial x}(L, t)=0\), t > 0

प्रारंभिक शर्तें

θ(x, 0) = θ0, 0 ≤ x ≤ L

θ(0, t) = 0 ⇒ \(e^{-a λ^2 t}\)(A) = 0 ⇒ A = 0

इसलिए θ(x, t) = \(e^{-α λ^2 t}\)(B sin λx).....(vii)

अब, \(\frac{\partial θ}{\partial x}\) = -αλ²\(e^{-a λ^2 t}\)(B sin λx)

\(\frac{\partial θ}{\partial x}(L, t)=0\) ⇒ -αλ2\(e^{-a λ^2 t}\)(B sin λL) = 0 ⇒ sin λL = 0 ⇒ λL = nπ ⇒ λ = \(\frac{n\pi}{L}\)

इसलिए θ(x, t) = B\(e^{-α (\frac{n\pi}{L})^2 t}\)(sin \(\frac{n\pi}{L}\)x)

साथ ही θ(x, 0) = θ0 ⇒ B = \(\frac{2\theta_0}{n\pi}\)

इसलिए आवश्यक हल है

θ(x, t) = \(\sum_{n=0}^{\infty}\)\(\frac{2\theta_0}{n\pi}\)\(e^{-α (\frac{n\pi}{L})^2 t}\)(sin \(\frac{n\pi}{L}\)x)

(2) सही है, (4) सही है, (3) गलत है

संकल्पना:

\(\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) जहाँ -∞ < x < ∞ , t > 0 और c > 0.

स्थिति u(x, 0) = f(x) और \(\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)\) = g(x)को संतुष्ट करने पर, जहाँ f(x) = प्रारंभिक विस्थापन और g(x) प्रारंभिक वेग है। 

स्थितियों को संतुष्ट करने वाले उपरोक्त समीकरण के लिए हल को डी-एलेम्बर्ट के सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है अर्थात्

\(u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x\;-\;ct)\;+\;f(x\;+\;ct)]\;+\;\frac{1}{2c}\int_{x\;-ct}^{x\;+ct}g(x)dx\)

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=36\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) अर्थात् c = 6 [∵ c > 0]

प्रारंभिक स्थिति u(x, 0) = 5x ⇒ f(x) और\(\frac{\partial u}{\partial t}(x,\;0)\) = 1 ⇒ g(x)

∴ डी-एलेम्बर्ट हल निम्न है \(u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x\;-\;ct)\;+\;f(x\;+\;ct)]\;+\;\frac{1}{2c}\int_{x\;-ct}^{x\;+ct}g(x)dx\)

x = 2, t = 1, c = 6 और g(x) = 1 के मानों को रखने पर

\(u(2, 1)=\frac{1}{2}[f(2\;-\;6)\;+\;f(2\;+\;6)]\;+\;\frac{1}{12}\int_{-4}^{8}dx\)

\(u(2, 1)=\frac{1}{2}[f(-4)\;+\;f(8)]\;+\;\frac{1}{12}\int_{-4}^{8}dx\)

f(x) = 5x

f(- 4) = -20 और f(8) = 40 और \(\int_{-4}^{8}dx=[x]^{8}_{-4}⇒12\)

\(u(2, 1)=\frac{1}{2}[-20\;+40]\;+\;\frac{1}{12}\times12\)

u(2, 1) = 10 + 1 ⇒ 11

संकल्पना​:

एक-विमीय ऊष्मा समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = {C^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\)

Additional Information

एक-विमीय तरंग समीकरण: \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {C^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\)

द्विविमीय तरंग समीकरण: \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}\)

लाप्लास समीकरण: \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)

संकल्पना:

तरंग समीकरण:

यह तरंगों (जैसे यांत्रिक तरंगों) के वर्णन के लिए एक दूसरी कोटि का रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है।

आंशिक अवकल समीकरण निम्न रूप में दिया गया है,

\(A\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + B\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + C\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + D\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + E\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = F\)

एक-आयामी समीकरण के लिए,

\(α^2\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}}\)

जहाँ A = α2, B = 0, C = -1

सभी मानों को समीकरण (1) में रखें

∴ 0 - 4 (α2)(-1)

4α2 > 0

तो, यह एक आयामी तरंग समीकरण है।

Additional Information

\(\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = {α ^2}\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}}\)

A = α2 , B = 0, C = 0 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(α2)(0) = 0, इसलिए यह परवलयिक फलन दर्शाता है।

तो, यह एक आयामी ऊष्मा समीकरण है।

\(\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}} = - \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}}\)

A = 1, B = 0, C = 1 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(1)(1) = -4, इसलिए यह दीर्घ वृत्ताकार फलन को दर्शाता है।

तो, यह एक दो आयामी ऊष्मा समीकरण है।

वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दिया गया है

\(\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{d{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}} \right) + \frac{{Q\left( {x,t} \right)}}{K} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right)\)      (2-D)

लाप्लास समीकरण: 

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)     (3-D)

\({\nabla ^2}u = 0\)

प्वासों का समीकरण 

\({\nabla ^2}V = - \frac{{{\rho _v}}}{\epsilon}\)

वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दर्शाया गया है

\(\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{d{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}} \right) + \frac{{Q\left( {x,t} \right)}}{K} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {C^2}.\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\)      (1-D)

लाप्लास समीकरण:

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)     (3-D)

\({\nabla ^2}u = 0\)

संकल्पना:

तरंग समीकरण:

यह तरंगों (जैसे यांत्रिक तरंगों) के वर्णन के लिए एक दूसरी कोटि का रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है।

आंशिक अवकल समीकरण निम्न रूप में दिया गया है,

\(A\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + B\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + C\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + D\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + E\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = F\)

एक-आयामी समीकरण के लिए,

\(α^2\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}}\)

जहाँ A = α2, B = 0, C = -1

सभी मानों को समीकरण (1) में रखें

∴ 0 - 4 (α2)(-1)

4α2 > 0

तो, यह एक आयामी तरंग समीकरण है।

Additional Information

\(\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = {α ^2}\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}}\)

A = α2 , B = 0, C = 0 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(α2)(0) = 0, इसलिए यह परवलयिक फलन दर्शाता है।

तो, यह एक आयामी ऊष्मा समीकरण है।

\(\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}} = - \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}}\)

A = 1, B = 0, C = 1 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(1)(1) = -4, इसलिए यह दीर्घ वृत्ताकार फलन को दर्शाता है।

तो, यह एक दो आयामी ऊष्मा समीकरण है।

अवधारणा:

यह आंशिक अवकल समीकरण में दिया गया एक-विमीय तरंग समीकरण है:

\(\frac{{{\partial }^{2}}\text{y}}{\partial {{\text{t}}^{2}}}={{\text{C}}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}\text{y}}{\partial {{\text{x}}^{2}}}\)

जहाँ C² = T/m, T = प्रत्यास्थ स्ट्रिंग में तनाव, और M = प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान

गणना:

ऊपर दिए गए समीकरण की तुलना करने पर, हमें C = 1/5 प्राप्त होता है

f(x) = 3x, g(x) = 3

f (x + ct) = f (x + t/5) = 3 (x + t/5) = 3x + 3t/5

f (x - ct) = f (x - t/5) = 3 (x- t/5) = 3x - 3t/5

\(\text{U}(\left( \text{x},\text{t} \right)=\frac{1}{2}\left\{ \text{f}\left( \text{x}+\text{ct} \right)+\text{f}\left( \text{x}-\text{ct} \right)+\mathop{\int }_{\text{x}-\text{ct}}^{\text{x}+\text{ct}}\text{g}\left( \text{x} \right)\text{dx} \right\}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{ 6x+\frac{1}{1/5}+\mathop{\int }_{x-t/5}^{x+t/5}3~dx \right\}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{ 6\text{x}+5+\left[ \left( 3\text{x}+\frac{3\text{t}}{5} \right)-\left( 3\text{x}-\frac{3\text{t}}{5} \right) \right] \right\}\)

\(\text{U}\left( \text{x},\text{t} \right)=\frac{1}{2}\left( 6\text{x}+6\text{t} \right)\)

\(\therefore \text{U}\left( 1,1 \right)=\frac{1}{2}\left( 6\times 1+6\times 1 \right)=6\)

वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दिया गया है

\(\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{d{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}} \right) + \frac{{Q\left( {x,t} \right)}}{K} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right)\)      (2-D)

लाप्लास समीकरण: 

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)     (3-D)

\({\nabla ^2}u = 0\)

प्वासों का समीकरण 

\({\nabla ^2}V = - \frac{{{\rho _v}}}{\epsilon}\)

वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दर्शाया गया है

\(\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{d{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}} \right) + \frac{{Q\left( {x,t} \right)}}{K} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {C^2}.\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\)      (1-D)

लाप्लास समीकरण:

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)     (3-D)

\({\nabla ^2}u = 0\)

संकल्पना:

तरंग समीकरण:

यह तरंगों (जैसे यांत्रिक तरंगों) के वर्णन के लिए एक दूसरी कोटि का रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है।

आंशिक अवकल समीकरण निम्न रूप में दिया गया है,

\(A\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + B\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + C\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + D\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + E\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = F\)

एक-आयामी समीकरण के लिए,

\(α^2\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}}\)

जहाँ A = α2, B = 0, C = -1

सभी मानों को समीकरण (1) में रखें

∴ 0 - 4 (α2)(-1)

4α2 > 0

तो, यह एक आयामी तरंग समीकरण है।

Additional Information

\(\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = {α ^2}\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}}\)

A = α2 , B = 0, C = 0 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(α2)(0) = 0, इसलिए यह परवलयिक फलन दर्शाता है।

तो, यह एक आयामी ऊष्मा समीकरण है।

\(\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}} = - \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}}\)

A = 1, B = 0, C = 1 का होना

सभी मानों को समीकरण (1) में रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

0 - 4(1)(1) = -4, इसलिए यह दीर्घ वृत्ताकार फलन को दर्शाता है।

तो, यह एक दो आयामी ऊष्मा समीकरण है।

संकल्पना:

\(\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) जहाँ -∞ < x < ∞ , t > 0 और c > 0.

स्थिति u(x, 0) = f(x) और \(\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)\) = g(x)को संतुष्ट करने पर, जहाँ f(x) = प्रारंभिक विस्थापन और g(x) प्रारंभिक वेग है। 

स्थितियों को संतुष्ट करने वाले उपरोक्त समीकरण के लिए हल को डी-एलेम्बर्ट के सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है अर्थात्

\(u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x\;-\;ct)\;+\;f(x\;+\;ct)]\;+\;\frac{1}{2c}\int_{x\;-ct}^{x\;+ct}g(x)dx\)

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=36\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) अर्थात् c = 6 [∵ c > 0]

प्रारंभिक स्थिति u(x, 0) = 5x ⇒ f(x) और\(\frac{\partial u}{\partial t}(x,\;0)\) = 1 ⇒ g(x)

∴ डी-एलेम्बर्ट हल निम्न है \(u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x\;-\;ct)\;+\;f(x\;+\;ct)]\;+\;\frac{1}{2c}\int_{x\;-ct}^{x\;+ct}g(x)dx\)

x = 2, t = 1, c = 6 और g(x) = 1 के मानों को रखने पर

\(u(2, 1)=\frac{1}{2}[f(2\;-\;6)\;+\;f(2\;+\;6)]\;+\;\frac{1}{12}\int_{-4}^{8}dx\)

\(u(2, 1)=\frac{1}{2}[f(-4)\;+\;f(8)]\;+\;\frac{1}{12}\int_{-4}^{8}dx\)

f(x) = 5x

f(- 4) = -20 और f(8) = 40 और \(\int_{-4}^{8}dx=[x]^{8}_{-4}⇒12\)

\(u(2, 1)=\frac{1}{2}[-20\;+40]\;+\;\frac{1}{12}\times12\)

u(2, 1) = 10 + 1 ⇒ 11

संकल्पना​:

एक-विमीय ऊष्मा समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = {C^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\)

Additional Information

एक-विमीय तरंग समीकरण: \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {C^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\)

द्विविमीय तरंग समीकरण: \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}\)

लाप्लास समीकरण: \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)

अवधारणा:

यह आंशिक अवकल समीकरण में दिया गया एक-विमीय तरंग समीकरण है:

\(\frac{{{\partial }^{2}}\text{y}}{\partial {{\text{t}}^{2}}}={{\text{C}}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}\text{y}}{\partial {{\text{x}}^{2}}}\)

जहाँ C² = T/m, T = प्रत्यास्थ स्ट्रिंग में तनाव, और M = प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान

गणना:

ऊपर दिए गए समीकरण की तुलना करने पर, हमें C = 1/5 प्राप्त होता है

f(x) = 3x, g(x) = 3

f (x + ct) = f (x + t/5) = 3 (x + t/5) = 3x + 3t/5

f (x - ct) = f (x - t/5) = 3 (x- t/5) = 3x - 3t/5

\(\text{U}(\left( \text{x},\text{t} \right)=\frac{1}{2}\left\{ \text{f}\left( \text{x}+\text{ct} \right)+\text{f}\left( \text{x}-\text{ct} \right)+\mathop{\int }_{\text{x}-\text{ct}}^{\text{x}+\text{ct}}\text{g}\left( \text{x} \right)\text{dx} \right\}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{ 6x+\frac{1}{1/5}+\mathop{\int }_{x-t/5}^{x+t/5}3~dx \right\}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{ 6\text{x}+5+\left[ \left( 3\text{x}+\frac{3\text{t}}{5} \right)-\left( 3\text{x}-\frac{3\text{t}}{5} \right) \right] \right\}\)

\(\text{U}\left( \text{x},\text{t} \right)=\frac{1}{2}\left( 6\text{x}+6\text{t} \right)\)

\(\therefore \text{U}\left( 1,1 \right)=\frac{1}{2}\left( 6\times 1+6\times 1 \right)=6\)