Harmonic Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Harmonic Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक फलन f(x, y) को प्रसंवादी कहा जाता है यदि यह निम्न को संतुष्ट करता है:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

व्याख्या:

(1): u = x2 + y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ ≠ 0

u = x2 + y2 प्रसंवादी नहीं है।

(1) सही है। 

(2): u = x2 - y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = x2 - y2 प्रसंवादी है।

(3): u = sin hx cos y

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ = sin hx cos y और $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = - sin hx cos y

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = sin hx cos y प्रसंवादी है।

(4): इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

u = $\frac{1}{2}$log(x2 + y2) प्रसंवादी है।

संकल्पना:

एक फलन u = f(x, y) को आवर्त फलन कहा जाता है यदि $\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}y}=0$

हल:

दिया गया है,  $\mathrm{u}=\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)$आवर्त है

अब , $\frac{\partial u}{\partial x}$ = $\frac{1}{2}\times \frac{2x}{x^2+y^2}$ = $\frac{x}{x^2+y^2}$ 

$\frac{\partial u}{\partial y}$ = $\frac{1}{2}\times \frac{2y}{x^2+y^2}$ = $\frac{y}{x^2+y^2}$

∴ dv =$\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)$dx + $\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)$dy 

=$\left(\frac{-\partial u}{\partial x}\right)$dx + $\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)$dy [CR समीकरण का प्रयोग करने पर]

=$\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)$dx + $\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)$dy

=$\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

v = ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ + C

∴ हार्मोनिक संयुग्मी ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\mathrm{c}$ है

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Additional Informationd(xy) = xdy + ydx

d($\frac{x}{y}$) = $\frac{ydx-xdy}{y^2}$

d($\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$) = d(${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$)

संकल्पना:

यदि u(x, y) हार्मोनिक फलन है, तो इसे लाप्लास समीकरण u_xx + u_yy = 0 को संतुष्ट करना चाहिए। 

गणना:

दिया गया है:

u(x, y) = ebx cos 5y

∴ u_x = be^bx cos 5y

∴ u_xx = b²e^bx cos 5y

∴ u_y = -5e^bx sin 5y

∴ u_yy = -25e^bx cos 5y

∵हार्मोनिक फलन के लिए, uxx + uyy = 0

∴ b² e^bx cos 5y – 25e^bx cos 5y = 0

∴ e^bx cos 5y (b² - 25) = 0

∴ b² – 25 = 0

∴ b = ± 5

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2-2x)=-2$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left(2my\right)}{\partial y}=2m$

$\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2+2m=0$

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

$i.e.\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=4x+4y=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

$\frac{\partial v}{\partial x}=4y+f^{\prime }(x)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-4y+4x$

4y – 4x = 4y + f’(x)

$f\left(x\right)=-\frac{4x^2}{2}+C=-2x^2+C$

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2-2x)=-2$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left(2my\right)}{\partial y}=2m$

$\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2+2m=0$

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

$i.e.\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=4x+4y=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

$\frac{\partial v}{\partial x}=4y+f^{\prime }(x)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-4y+4x$

4y – 4x = 4y + f’(x)

$f\left(x\right)=-\frac{4x^2}{2}+C=-2x^2+C$

संकल्पना:

यदि u(x, y) हार्मोनिक फलन है, तो इसे लाप्लास समीकरण u_xx + u_yy = 0 को संतुष्ट करना चाहिए। 

गणना:

दिया गया है:

u(x, y) = ebx cos 5y

∴ u_x = be^bx cos 5y

∴ u_xx = b²e^bx cos 5y

∴ u_y = -5e^bx sin 5y

∴ u_yy = -25e^bx cos 5y

∵हार्मोनिक फलन के लिए, uxx + uyy = 0

∴ b² e^bx cos 5y – 25e^bx cos 5y = 0

∴ e^bx cos 5y (b² - 25) = 0

∴ b² – 25 = 0

∴ b = ± 5

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2-2x)=-2$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left(2my\right)}{\partial y}=2m$

$\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2+2m=0$

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

$i.e.\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=4x+4y=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

$\frac{\partial v}{\partial x}=4y+f^{\prime }(x)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-4y+4x$

4y – 4x = 4y + f’(x)

$f\left(x\right)=-\frac{4x^2}{2}+C=-2x^2+C$

संकल्पना:

एक फलन u = f(x, y) को आवर्त फलन कहा जाता है यदि $\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}y}=0$

हल:

दिया गया है,  $\mathrm{u}=\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)$आवर्त है

अब , $\frac{\partial u}{\partial x}$ = $\frac{1}{2}\times \frac{2x}{x^2+y^2}$ = $\frac{x}{x^2+y^2}$ 

$\frac{\partial u}{\partial y}$ = $\frac{1}{2}\times \frac{2y}{x^2+y^2}$ = $\frac{y}{x^2+y^2}$

∴ dv =$\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)$dx + $\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)$dy 

=$\left(\frac{-\partial u}{\partial x}\right)$dx + $\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)$dy [CR समीकरण का प्रयोग करने पर]

=$\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)$dx + $\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)$dy

=$\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

v = ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ + C

∴ हार्मोनिक संयुग्मी ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\mathrm{c}$ है

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Additional Informationd(xy) = xdy + ydx

d($\frac{x}{y}$) = $\frac{ydx-xdy}{y^2}$

d($\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$) = d(${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$)

संप्रत्यय:

एक फलन f(x, y) को प्रसंवादी कहा जाता है यदि यह निम्न को संतुष्ट करता है:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

व्याख्या:

(1): u = x2 + y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ ≠ 0

u = x2 + y2 प्रसंवादी नहीं है।

(1) सही है। 

(2): u = x2 - y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = x2 - y2 प्रसंवादी है।

(3): u = sin hx cos y

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ = sin hx cos y और $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = - sin hx cos y

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = sin hx cos y प्रसंवादी है।

(4): इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

u = $\frac{1}{2}$log(x2 + y2) प्रसंवादी है।