Eigenvalues and Eigen Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Eigenvalues and Eigen Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

(i) एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग

(ii) एक वर्ग आव्यूह का सारणिक = अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल

(ii) यदि आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग λ है, तो λ उस आव्यूह का एक अभिलक्षणिक मान है।

स्पष्टीकरण:

प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग 4 है इसलिए 4 एक अभिलक्षणिक मान है।

A का ट्रेस = 1 - 2 - 3 = -4

det(A) =  = 1(6 - 25) + 1( 10 + 3) + 2(5 + 4) = -19 + 13 + 18 = 12

(1): 4 एक अभिलक्षणिक मान नहीं है।

इसलिए विकल्प (1) गलत है।

(2): आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग = 4 + 3 + 1 = 9 ≠ -4

इसलिए विकल्प (2) गलत है।

(3): आव्यूह का ट्रेस = 4 - 4 + √13 - 4 - √13 = -4

और A का सारणिक = 4(-4 + √13)(-4 - √13) = 4(16 - 13) = 12

अतः विकल्प (3) सही है।

(4): आव्यूह का सारणिक = 4 (-2 + 2√7)(-2 - 2√7) = 4(4 - 28) = -96

अतः विकल्प (4) गलत है।

व्याख्या:

Adj A का आइगेन मान = A का सारणिक / A का आइगेन मान = 7/7 = 1

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

कथन (A):

यदि किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह P के लिए  एक विकर्ण आव्यूह है, तो X के आइगेन सदिशों का एक आधार होता है

विकर्ण होने का अर्थ है कि X को विकर्ण रूप में लिखा जा सकता है

एक आव्यूह तभी विकर्णनीय होता है जब आइगेन सदिशों के एक आधार का अस्तित्व हो

चूँकि P व्युत्क्रमणीय है, इसलिए P के स्तंभ X के आइगेन सदिश हैं। 

इसलिए (A) सही है। 

कथन (B):

यदि X भिन्न विकर्ण मानों वाला एक विकर्ण आव्यूह है और XY = YX है, तो Y भी विकर्ण होना चाहिए

मान लीजिए X है:

जहाँ (विकर्ण मान भिन्न हैं)

यदि XY = YX, तो इसका अर्थ है कि Y को विकर्ण के बाहर शून्य रखने के लिए बाध्य किया जाना चाहिए, अन्यथा गुणन ठीक से कार्य नहीं करेगा। 

इसलिए Y भी विकर्ण होना चाहिए। 

इसलिए (B) सही है। 

कथन (C):

यदि विकर्ण है, तो X विकर्ण होना चाहिए। 

आइए एक उदाहरण लेते हैं:

यहाँ, , जो कि विकर्ण है

लेकिन X स्वयं विकर्ण नहीं है। 

इसलिए (C) गलत है। 

कथन (D):

यदि X विकर्ण है और यह प्रत्येक आव्यूह Y के साथ क्रमविनिमेय है, तो X तत्समक आव्यूह का गुणज होना चाहिए

यदि X विकर्ण है लेकिन I का गुणज नहीं है, तो कुछ आव्यूह Y होंगे जिनके लिए  है,

केवल तत्समक  के अदिश गुणज सभी आव्यूहों के साथ क्रमविनिमेय होते हैं

इसलिए (D) सही है। 

सही कथन (A), (B) और (D) हैं। 

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है। 

अवधारणा:

1. एक एकगुणांकी बहुपद एक बहुपद होता है जहाँ अग्रग गुणांक (उच्चतम-कोटि पद) 1 होता है।

2. एक एकगुणांकी बहुपद के लिए:

सहचर आव्यूह है:

इस प्रकार, इस आव्यूह का अल्पिष्ठ बहुपद f(t) है। 

व्याख्या:

एकगुणांकी बहुपद से संगी आव्यूह ( आव्यूह के लिए)

दिया गया बहुपद, घात 3 का एक एकगुणांकी बहुपद है:

सहचर आव्यूह है:

अंतिम स्तंभ में गुणांकों के ऋणात्मक मान होते हैं।

C का अभिलक्षणिक बहुपद f(t) है। 

C का अल्पिष्ठ बहुपद भी f(t) है। 

यदि

तो , , और , इसलिए सहचर आव्यूह है:

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

व्याख्या:

1. (A) में आव्यूह:

आइगेनमान: हल करें

आइगेन मान:

चूँकि दो अलग-अलग आइगेन मान हैं, इसलिए यह विकर्णनीय है। 

सारणिक है, इसलिए यह अव्युत्क्रमणीय है। 

⇒ A सही कथन है।

2. (B) में आव्यूह:

आइगेनमान: हल करें

आइगेनमान: = 1 (पुनरावृत्त)

विकर्णनीयता की जाँच करें: न्यूनतम बहुपद है, और चूँकि केवल एक आइगेन सदिश है (दो रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं), यह विकर्णनीय नहीं है

सारणिक 1 है, इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है। 

⇒ B सही कथन है।

3. (C) में आव्यूह:

हल करें:

आइगेनमान: = 1, 1 (पुनरावृत्त आइगेन मान)

= 1 के लिए आइगेनवेक्टर ज्ञात करें:

(A - I)x = 0 हल करें:

दूसरी पंक्ति से:

यह केवल एक आइगेनवेक्टर देता है: , जिसका अर्थ है कि यह विकर्णनीय नहीं है (क्योंकि 2x2 आव्यूह के विकर्णनीय होने के लिए हमें दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन सदिश की आवश्यकता होती है)

इस प्रकार, कथन (C) गलत है। 

4. (D) में आव्यूह:

हल करें

आइगेनमान: = 1, 0

आइगेन सदिश ज्ञात करें।

= 1 के लिए:

⇒ , इसलिए ,आइगेन सदिश  है

यह देता है, इसलिए आइगेन सदिश है

चूँकि दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन सदिश हैं, इसलिए यह विकर्णनीय है, जो इस कथन का खंडन करता है कि यह अविकर्णनीय है।

साथ ही, सारणिक 0 है, जिसका अर्थ है कि यह अव्युत्क्रमणीय है, इसलिए कथन का वह भाग सही है।

चूँकि (D) का भाग गलत है (यह वास्तव में विकर्णनीय है), कथन (D) गलत है

⇒ (A) और (B) सही कथन हैं।

⇒ विकल्प (2) सही है। 

अवधारणा:

(i) एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग

(ii) एक वर्ग आव्यूह का सारणिक = अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल

(ii) यदि आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग λ है, तो λ उस आव्यूह का एक अभिलक्षणिक मान है।

स्पष्टीकरण:

प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग 4 है इसलिए 4 एक अभिलक्षणिक मान है।

A का ट्रेस = 1 - 2 - 3 = -4

det(A) =  = 1(6 - 25) + 1( 10 + 3) + 2(5 + 4) = -19 + 13 + 18 = 12

(1): 4 एक अभिलक्षणिक मान नहीं है।

इसलिए विकल्प (1) गलत है।

(2): आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग = 4 + 3 + 1 = 9 ≠ -4

इसलिए विकल्प (2) गलत है।

(3): आव्यूह का ट्रेस = 4 - 4 + √13 - 4 - √13 = -4

और A का सारणिक = 4(-4 + √13)(-4 - √13) = 4(16 - 13) = 12

अतः विकल्प (3) सही है।

(4): आव्यूह का सारणिक = 4 (-2 + 2√7)(-2 - 2√7) = 4(4 - 28) = -96

अतः विकल्प (4) गलत है।

व्याख्या:

Adj A का आइगेन मान = A का सारणिक / A का आइगेन मान = 7/7 = 1

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

कथन (A):

यदि किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह P के लिए  एक विकर्ण आव्यूह है, तो X के आइगेन सदिशों का एक आधार होता है

विकर्ण होने का अर्थ है कि X को विकर्ण रूप में लिखा जा सकता है

एक आव्यूह तभी विकर्णनीय होता है जब आइगेन सदिशों के एक आधार का अस्तित्व हो

चूँकि P व्युत्क्रमणीय है, इसलिए P के स्तंभ X के आइगेन सदिश हैं। 

इसलिए (A) सही है। 

कथन (B):

यदि X भिन्न विकर्ण मानों वाला एक विकर्ण आव्यूह है और XY = YX है, तो Y भी विकर्ण होना चाहिए

मान लीजिए X है:

जहाँ (विकर्ण मान भिन्न हैं)

यदि XY = YX, तो इसका अर्थ है कि Y को विकर्ण के बाहर शून्य रखने के लिए बाध्य किया जाना चाहिए, अन्यथा गुणन ठीक से कार्य नहीं करेगा। 

इसलिए Y भी विकर्ण होना चाहिए। 

इसलिए (B) सही है। 

कथन (C):

यदि विकर्ण है, तो X विकर्ण होना चाहिए। 

आइए एक उदाहरण लेते हैं:

यहाँ, , जो कि विकर्ण है

लेकिन X स्वयं विकर्ण नहीं है। 

इसलिए (C) गलत है। 

कथन (D):

यदि X विकर्ण है और यह प्रत्येक आव्यूह Y के साथ क्रमविनिमेय है, तो X तत्समक आव्यूह का गुणज होना चाहिए

यदि X विकर्ण है लेकिन I का गुणज नहीं है, तो कुछ आव्यूह Y होंगे जिनके लिए  है,

केवल तत्समक  के अदिश गुणज सभी आव्यूहों के साथ क्रमविनिमेय होते हैं

इसलिए (D) सही है। 

सही कथन (A), (B) और (D) हैं। 

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है। 

अवधारणा:

1. एक एकगुणांकी बहुपद एक बहुपद होता है जहाँ अग्रग गुणांक (उच्चतम-कोटि पद) 1 होता है।

2. एक एकगुणांकी बहुपद के लिए:

सहचर आव्यूह है:

इस प्रकार, इस आव्यूह का अल्पिष्ठ बहुपद f(t) है। 

व्याख्या:

एकगुणांकी बहुपद से संगी आव्यूह ( आव्यूह के लिए)

दिया गया बहुपद, घात 3 का एक एकगुणांकी बहुपद है:

सहचर आव्यूह है:

अंतिम स्तंभ में गुणांकों के ऋणात्मक मान होते हैं।

C का अभिलक्षणिक बहुपद f(t) है। 

C का अल्पिष्ठ बहुपद भी f(t) है। 

यदि

तो , , और , इसलिए सहचर आव्यूह है:

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

व्याख्या:

1. (A) में आव्यूह:

आइगेनमान: हल करें

आइगेन मान:

चूँकि दो अलग-अलग आइगेन मान हैं, इसलिए यह विकर्णनीय है। 

सारणिक है, इसलिए यह अव्युत्क्रमणीय है। 

⇒ A सही कथन है।

2. (B) में आव्यूह:

आइगेनमान: हल करें

आइगेनमान: = 1 (पुनरावृत्त)

विकर्णनीयता की जाँच करें: न्यूनतम बहुपद है, और चूँकि केवल एक आइगेन सदिश है (दो रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं), यह विकर्णनीय नहीं है

सारणिक 1 है, इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है। 

⇒ B सही कथन है।

3. (C) में आव्यूह:

हल करें:

आइगेनमान: = 1, 1 (पुनरावृत्त आइगेन मान)

= 1 के लिए आइगेनवेक्टर ज्ञात करें:

(A - I)x = 0 हल करें:

दूसरी पंक्ति से:

यह केवल एक आइगेनवेक्टर देता है: , जिसका अर्थ है कि यह विकर्णनीय नहीं है (क्योंकि 2x2 आव्यूह के विकर्णनीय होने के लिए हमें दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन सदिश की आवश्यकता होती है)

इस प्रकार, कथन (C) गलत है। 

4. (D) में आव्यूह:

हल करें

आइगेनमान: = 1, 0

आइगेन सदिश ज्ञात करें।

= 1 के लिए:

⇒ , इसलिए ,आइगेन सदिश  है

यह देता है, इसलिए आइगेन सदिश है

चूँकि दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन सदिश हैं, इसलिए यह विकर्णनीय है, जो इस कथन का खंडन करता है कि यह अविकर्णनीय है।

साथ ही, सारणिक 0 है, जिसका अर्थ है कि यह अव्युत्क्रमणीय है, इसलिए कथन का वह भाग सही है।

चूँकि (D) का भाग गलत है (यह वास्तव में विकर्णनीय है), कथन (D) गलत है

⇒ (A) और (B) सही कथन हैं।

⇒ विकल्प (2) सही है। 

अवधारणा:

1. nn आव्यूह का सारणिक उसके आइगेन मानों का गुणनफल होता है।

2. यदि आव्यूह A के आइगेन मान a, b, c हैं, तो उसके परिवर्त के आइगेन मान समान होते हैं

और A-1 के आइगेन मान 1/a, 1/b, 1/c होते हैं।

व्याख्या:

मान लीजिए A एक 3 x 3 आव्यूह है जिसके आइगेन मान 6, 5 और 2 हैं,

A-1 के आइगेन मान क्रमशः होंगे।

A-1 के परिवर्त के आइगेन मान होंगे।

अब,

(A-1)T का सारणिक = उसके आइगेन मानों का गुणनफल

=

=

= 0.016.

इसलिए, विकल्प (4) सही उत्तर है।

व्याख्या:

⇒ (2- )(3-) -2=0

⇒ - 5 +4 =0

⇒ = 1,4

आइगेन मानों का योग 5 है

इसलिए कथन 1 असत्य है।

यदि T" id="MathJax-Element-848-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> T" id="MathJax-Element-54-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> T $T$ $T$ T व्युत्क्रमणीय है, तो इसका व्युत्क्रम " id="MathJax-Element-849-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-55-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> T^-1 संतुष्ट करता है:

$T(v)=\lambda v$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इसलिए, कथन II सत्य है

इसलिए विकल्प 4 सही है।