Continuity of a function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuity of a function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

x = a पर फलन  f(x) संतत है, यदि  f(x) = f(x) = f(a).

गणना:

दिया है: f(x) = \frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)

f() = m ×  + 1

बाएँ पक्ष की सीमा = 

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

बाएँ पक्ष की सीमा = m ×  + 1

दाएँ पक्ष की सीमा = 

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

दाएँ पक्ष की सीमा = 1 + n

x =  पर फलन के संतत होने के लिए, 

बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = f(π/2)

⇒ m×  + 1 = 1 + n

⇒ n = 

सही उत्तर n = =  है। 

संकल्पना:

यदि कोई फलन किसी बिन्दु a पर सतत है, तो

sin(∞) = a, जहाँ -1≤ a ≤ 1

गणना:

दिया गया है:

f(0) = 1

f(x) = x sin (1/x)

x = 0 पर सांतत्यता की जाँच करने पर

बायाँ पक्ष 

= 0 × sin(∞)

= 0 

दायाँ पक्ष

= f(0) = 1

बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष

अतः, x = 0 पर फलन असंतत है।

अवधारणा:

यदि कोई फलन x = a पर संतत है, तो L.H.L = R.H.L = f(a) 

 x = a  पर f(x) की बाएँ  पक्ष की सीमा (L.H.L)   है 

 x = a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L)   है 

गणना:

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x

तो x > 0 और x

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x

तो x > 0 और x

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

परिभाषा:

• यदि  मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ .

सूत्र:

गणना:

चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए,   है।

साथ ही,  है, क्योंकि f(x), x > 0 और x

.

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ .

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

चूँकि फलन का समीकरण x 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

⇒ K = 

अवधारणा:

किसी फलन के लिए f, मौजूद हैं

, जहाँ l एक परिमित मान है।

किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि , जहाँ l एक परिमित मान है।

गणना:

दिया गया है कि: , x = 3 पर निरंतर नहीं है।

अतः, यदि कोई फलन x = a पर निरंतर नहीं है तब

तो, फलन f(x) के लिए यदि भाजक x = 3 पर 0 है तो हम कह सकते हैं कि f (3) अनंत है और सीमा मौजूद नहीं हो सकती।

माना k का मान ज्ञात करें जिसके लिए f(x) का भाजक x = 3 के लिए 0 है।

तो, x2 + kx - 3 = 0 में x = 3 प्रतिस्थापित करें

⇒ 32 + 3k - 3 = 0.

⇒ 6 + 3k = 0.

⇒ k = - 2.

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

माना कि f(x) =  है। 

ऐसी तीन स्थितियां हैं जिसे एक संख्या a पर निरंतर होने के क्रम में फलन f(x) द्वारा पूरा होना चाहिए। 

• f(a) परिभाषित है। [आपके पास फलन में एक छिद्र नहीं हो सकता है] 
•  मौजूद है। 

सूचना:

यदि निरंतरता की तीन स्थितियों में से किसी भी एक स्थिति का उल्लंघन होता है, तो फलन को अनिरंतर कहा जाता है। 

यदि sin x = 0 है, तो x = nπ, n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = cot x

जाँच कीजिए कि हर कहाँ शून्य हो जाता है। 

sin x = 0

x = nπ, n ∈ Z

∴ दिया गया फलन x = nπ पर अनिरंतर है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

Important Points

• उस परिमेय समीकरण के साथ कार्य करने पर जिसमें अंश और हर दोनों निरंतर होते हैं। 
• केवल वह बिंदु जिसमें परिमेय समीकरण अनिरंतर होगा जहाँ हर शून्य हो जाती है। 

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) को बिंदु x = a पर सतत कहा जाता है यदि  = f(a)

 = 1

स्पष्टीकरण:

LHL = f(0^-) =  =  = 2 = 2

RHL = f(0⁺) = 

चूँकि x = 0 पर f(x) सतत है।

इसलिए, LHL = RHL = f(0)

अर्थात, 2 =  = α

इसलिए, α = 2 और β = 2√2

∴ 

अतः विकल्प (2) सही है। 

धारणा:

• a² - b² = (a - b) (a + b)

गणना:

दिया हुआ है कि

 [∵ a² - b² = (a-b) (a+b)]

⇒

⇒

दिया हुआ f(x), x = 3 पर निरंतर है

अवधारणा:

फलन निरंतर होने के लिए:

LHL = RHL = f(x)

जहाँ LHL = f(x - α) और RHL = f(x + α)

गणना:

दिया गया है कि f(x) निरंतर फलन है

LHL = f(x) = RHL

f(1 - α) = f(1)

 [a + b(1 - α)] = 5

 [a + b - bα] = 5

a + b = 5

सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है: 

गणना:

⇒ 

x = 2 के मान के लिए

फलन f(2)=  = 0

x = 0 के मान के लिए; f(0) =  = असंभव मूल्य

x = -2 के मान के लिए; f(-2) =  = 2

इसलिए, x = 0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए फलन का कुछ निश्चित हल है।

Sin x

|sinx|

f(x) = 1 + |sin x| का आलेख जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

ग्राफ से, यह स्पष्ट है कि फलन प्रत्येक जगह पर संतत है लेकिन π के समाकल गुणजों पर अवकलनीय नहीं है (∴ इन बिंदुओं पर वक्र में तीक्ष्ण मोड़ हैं)।

संकल्पना:

f(x) = |x| ⇒ f(x) = x if x > 0 और f(x) = -x, x

एक फलन f(x), x = a पर निरंतर है यदि 

एक फलन f(x), x = a पर अवकलनीय होता है यदि LHD = RHD

गणना:

यहाँ, f(x) = e-|x| 

तो x = 0 पर फलन निरंतर है

f(x) = e-|x| 

x x और x > 0 के लिए f'(x) = -e-x

यहाँ, LHD ≠ RHD तो f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

Alternate Method फलन के लिए ग्राफ का संदर्भ,

 f(x) = e-|x| 

 f(x) = ex x > 0 के लिए

 f(x) = e-x x > 0 के लिए

 f(x) = 1 x = 0 के लिए

• ग्राफ इस प्रकार हो सकता है,

• यह एक सम फलन होगा क्योंकि यह y-अक्ष के प्रति सममित है।
• हम देख सकते हैं कि फलन x = 0 पर सतत है, क्योंकि x = 0 पर कोई असतत नहीं है।
• आप देख सकते हैं कि ग्राफ़ के लिए x = 0  पर एक नुकीला कोना है इसलिए यह x = 0 पर अवकलनीय नहीं है
• इसलिए, विकल्प (1) सही है।