Axial Elongation of Bar MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Axial Elongation of Bar - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

विशिष्ट भार "γ" की शंक्वाकार छड़ की लम्बाई में स्व भार W के कारण वृद्धि निम्न सूत्र के द्वारा दर्शाई जा सकती है:

$\delta =\frac{\gamma L^2}{6E}=\frac{WL}{2A_{max}E}$

विशिष्ट भार "γ" की एकसमान शंक्वाकार छड की लम्बाई में स्व भार W के कारण वृद्धि निम्न सूत्र के द्वारा दर्शाई जा सकती है:

$\delta =\frac{\gamma L^2}{2E}=\frac{WL}{2AE}$

अवधारणा:

प्रिज़्मिय छड़ में दीर्घीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

$\delta l=\frac{Pl}{AE}$

जहां δl = छड़ की लंबाई में परिवर्तन, P = प्रयुक्त भार, l = छड़ की प्रारंभिक लंबाई, A = छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, E = प्रत्यास्थता मापांक

श्रृंखला में छड़ के लिए, δl_कुल = ∑δl

गणना:

दिया गया है:

अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (A) = 500 mm2, E = 200 GPa

δl = δl₁ + δl₂ + δl₃

⇒ δl = $\frac{P_1{l}_1}{AE}$ + $\frac{P_2{l}_2}{AE}$ + $\frac{P_3{l}_3}{AE}$

⇒ δl = $\frac{1}{500\times 200\times {10}^3}$ $\times [(50\times {10}^3\times 600)+(35\times {10}^3\times 1000)+(45\times {10}^3\times 1250)]$

⇒ δl = 1.2125 mm

स्पष्टीकरण:

इस सूत्र द्वारा हम लंबाई में परिवर्तन या अनुदैर्ध्य वृद्धि का पता लगा सकते हैं:

$\mathrm{\Delta }L=\frac{Pl}{AE}$

इसके लिए,हमें यंग मापांक की प्रत्यास्थता E की आवश्यकता होगी।

छड़ के व्यास में कमी को खोजने के लिए, इस रुप में परिभाषित पाॅइसन अनुपात (μ) के बारे में जानना होगा:

$\mu =-\frac{Lateralordiametralstrain({ϵ}_D)}{Longitudinalstrain({ϵ}_L)}$

∴ पार्श्व विरुपण(ϵD) = -μ × अनुदैर्ध्य विरुपण(ϵL)

संकल्पना:

हुक का नियम: हुक के नियम के अनुसार, प्रतिबल, विकृति के समानुपाती होता है

अर्थात σ ∝ ϵ या, σ = ϵ × E

जहाँ, E = प्रत्यास्थता मापांक

हुक के नियम के वैध होने के लिए:

(a) पदार्थ समरूप होना चाहिए।

(b) पदार्थ समदैशिक होना चाहिए।

(c) पदार्थ को रैखिक रूप से प्रत्यास्थ तरीके से व्यवहार करना चाहिए।

इस प्रकार एक समतल बार जिसमे क्षेत्र 'A', लंबाई ‘L’और प्रत्यास्थता मापांक 'E' के लिए ,

$\sigma =\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}ϵ=\frac{\delta \mathrm{L}}{L}$

हुक के नियम के अनुसार,

∵ σ = ϵ × E

$\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}}=\frac{\delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\times \mathrm{E}$

$\delta \mathrm{L}=\frac{\mathrm{P}\mathrm{L}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}$

गणना:

दिया गया है,

इकाई लंबाई की दो बार, अर्थात L₁ = L₂

दीर्घीकरण अनुपात 3 : 5 है, अर्थात δL1 : δL2 = 5 : 6

दोनों समान तनन भार के अधीन हैं, अर्थात P₁ = P₂

दोनों का आकार समान है, अर्थात A₁ = A₂

प्रथम बार का दीर्घीकरण:

$\delta {\mathrm{L}}_1=\frac{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{L}}_1}{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{E}}_1}$

द्वितीय बार का दीर्घीकरण:

$\delta {\mathrm{L}}_2=\frac{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{L}}_2}{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{E}}_2}$

अनुपात लेने पर,

$\frac{\delta {\mathrm{L}}_1}{\delta {\mathrm{L}}_2}=\frac{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{L}}_1}{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{E}}_1}\times \frac{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{E}}_2}{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{L}}_2}$

$\frac{\delta {\mathrm{L}}_1}{\delta {\mathrm{L}}_2}=\frac{{\mathrm{E}}_2}{{\mathrm{E}}_1}$

$\therefore \frac{{\mathrm{E}}_1}{{\mathrm{E}}_2}=\frac{\delta {\mathrm{L}}_2}{\delta {\mathrm{L}}_1}=\frac{6}{5}$

अतः दोनों पदार्थों के प्रत्यास्थता मापांक का अनुपात 6:5 होगा।

व्याख्या:

विशिष्ट भार w वाले अपने स्वयं के वजन W के कारण एकसमान छड़ का बढ़ाव:

$\delta =\frac{w{L}^2}{2E}=\frac{WL}{2AE}$

अतिरिक्त जानकारी

अक्षीय भार P के कारण बढ़ाव,

$\delta =\frac{PL}{AE}$

विशिष्ट वजन γ होने के कारण अपने स्वयं के वजन W के कारण शंक्वाकार पट्टी का बढ़ाव:

$\delta =\frac{w{L}^2}{6E}=\frac{WL}{2A_{max}E}$

स्पष्टीकरण:

संयुक्त बार​:

संयुक्त बार प्रत्यास्थता E1, E2 और क्षेत्रफल A1, A2 हैं।

अब माना कि समान लंबाई (l) का बार जिसकी समतुल्य प्रत्यास्थता E_eq,और क्षेत्रफल (A_eq) है।

समीकरण के अनुसार

(δl)_CB = (δl)_Eq

$\frac{\mathrm{P}\mathrm{l}}{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{E}}_1+{\mathrm{A}}_2{\mathrm{E}}_2}=\frac{\mathrm{P}\mathrm{l}}{({\mathrm{A}}_1+{\mathrm{A}}_2){\mathrm{E}}_{\mathrm{E}\mathrm{q}}}$

${\mathrm{E}}_{\mathrm{E}\mathrm{q}}=\frac{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{E}}_1+{\mathrm{A}}_2{\mathrm{E}}_2}{{\mathrm{A}}_1+{\mathrm{A}}_2}$

संकल्पना:-

जब दो बार की अलग-अलग लंबाई होती है, उन्हें एक पंक्ति में रखा जाता है, और अक्षीय भार के अधीन होता है, तो अलग-अलग बार के दीर्घीकरण  को जोड़कर कुल विरूपण या दीर्घीकरण की गणना की जाती है।

ΔL = ΔL₁ + ΔL₂

जहाँ,

P = अक्षीय तनन भार, D = बार का व्यास, 

E = यंग का प्रत्यास्थता मापांक, L₁ और L2 = खंड 1 और 2 की लंबाई,

$\mathrm{\Delta }L=\frac{PL}{AE}$

$\mathrm{\Delta }L=\frac{4PL}{\pi E{D}^2}$

ΔL = ΔL₁ + ΔL₂ 

गणना:

दिया गया है:

व्यास D प्रत्येक बार के लिए समान है, और L1 और L2 दो बार की लंबाई हैं।

अब, दीर्घीकरण की गणना इस प्रकार की जा सकती है,

ΔL₁ = PL₁ / AE 

ΔL₁ = 4PL₁ / πED² 

और, ΔL₂ = PL₂ / AE

ΔL₂ = 4PL₂ / πED² 

Now, ΔL = ΔL₁ + ΔL₂

ΔL = {4PL₁ / EπD²} + {4PL₂ / EπD²} 

ΔL = 4P / EπD² × (L₁ + L₂) 

स्पष्टीकरण:

अपने स्वयं के वजन W के विशिष्ट वजन γ के कारण एकसमान छड़ का दीर्घकरण:

$\delta =\frac{\gamma L^2}{2E}=\frac{WL}{2AE}$

Additional Information

अक्षीय भार P के कारण दीर्घकरण,

$\delta =\frac{PL}{AE}$

अपने स्वयं के वजन W के विशिष्ट वजन γ के कारण शंक्वाकार बार का दीर्घकरण:

$\delta =\frac{\gamma L^2}{6E}=\frac{WL}{2A_{max}E}$

संकल्पना:

हुक का नियम : हुक के नियम के अनुसार प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है

यानी σ ∝ ϵ या σ = ϵ × E

जहां, E = प्रत्यास्थता का मापांक

हुक का नियम मान्य होने के लिए:

(a) सामग्री सजातीय होनी चाहिए ।

(b) सामग्री समदैशिक होनी चाहिए ।

(c) सामग्री को रैखिक रूप से प्रत्यास्थ तरीके से व्यवहार करना चाहिए ।

इस प्रकार क्षेत्रफल 'A', लंबाई 'L' और प्रत्यास्थता के मापांक ‘E’ के साथ एक प्लेन बार के लिए

$\sigma =\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}ϵ=\frac{\delta \mathrm{L}}{L}$

हुक के नियम के अनुसार

∵ σ = ϵ × E

$\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}}=\frac{\delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\times \mathrm{E}$

$\delta \mathrm{L}=\frac{\mathrm{P}\mathrm{L}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}$

गणना:

दिया हुआ,

P = 50 kN = 50 × 10³ N

L = 3 m = 3000 mm

$\mathrm{A}=\frac{\pi }{4}\times {\mathrm{d}}^2=\frac{\pi }{4}\times {\left(30\times {10}^{-3}\right)}^2=7.068\times {10}^{-4}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$

E = 200 × 10⁹ GPa

$\delta \mathrm{L}=\frac{\mathrm{P}\mathrm{L}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}$

$\delta \mathrm{L}=\frac{\left(50\times {10}^3\right)\times 3}{\left(7.068\times {10}^{-4}\right)\times \left(200\times {10}^{11}\right)}=1.062\mathrm{m}\mathrm{m}$

इसलिए छड़ का दीर्घिकरण 1.062 mm होगा

स्पष्टीकरण:

स्वभार के कारण प्रिज्मीय बार का दीर्घीकरण :

${\delta }_1=\frac{\gamma {\mathbf{l}}^2}{2\mathbf{E}}$  

स्वभार के कारण शंक्वाकार बार का दीर्घीकरण:

${\delta }_2=\frac{\gamma {\mathbf{l}}^2}{6\mathbf{E}}$

जहाँ,

γ = सदस्य का इकाई वजन

l = सदस्य की लंबाई 

E = प्रत्यास्थता का यंग मापांक

अपने स्वभार के कारण शंक्वाकार बार के दीर्घीकरण और समान लंबाई के प्रिज्मीय बार का अनुपात:

$\frac{{\delta }_2}{{\delta }_1}=\frac{\frac{\gamma {\mathbf{l}}^2}{6\mathbf{E}}}{\frac{\gamma {\mathbf{l}}^2}{2\mathbf{E}}}$

$\frac{{\delta }_2}{{\delta }_1}=\frac{1}{3}$

अवधारणा:

प्रिज़्मिय छड़ में दीर्घीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

$\delta l=\frac{Pl}{AE}$

जहां δl = छड़ की लंबाई में परिवर्तन, P = प्रयुक्त भार, l = छड़ की प्रारंभिक लंबाई, A = छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, E = प्रत्यास्थता मापांक

श्रृंखला में छड़ के लिए, δl_कुल = ∑δl

गणना:

दिया गया है:

अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (A) = 500 mm2, E = 200 GPa

δl = δl₁ + δl₂ + δl₃

⇒ δl = $\frac{P_1{l}_1}{AE}$ + $\frac{P_2{l}_2}{AE}$ + $\frac{P_3{l}_3}{AE}$

⇒ δl = $\frac{1}{500\times 200\times {10}^3}$ $\times [(50\times {10}^3\times 600)+(35\times {10}^3\times 1000)+(45\times {10}^3\times 1250)]$

⇒ δl = 1.2125 mm

गणना

इससे संबंधित :

RA =  RB + 10

सुसंगतता समीकरण का उपयोग करके

${\delta }_1+{\delta }_2=0$

$\frac{R_A\times 1}{AE}+\frac{\left(R_A-10\right)\times 2}{AE}=0$

$\Rightarrow R_A=\frac{20}{3}kN$

और,

R_B = (20/3) - 10 = -10/3 kN

तो, RB के लिए मानी गई दिशा सही नहीं है। RB मानी गई दिशा के विपरीत दिशा में होगा।

संकल्पना:

लंबाई में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{L_f-L_i}{L_i}\times 100$

जहाँ,

Lf = कार्य-वस्तु की अंतिम लंबाई, Li = कार्य-वस्तु की प्रारंभिक लंबाई।

गणना:

दिया गया है:

Lf = 220 mm, Li = 200 mm 

तब,

लंबाई में प्रतिशत परिवर्तन = $\frac{L_f-L_i}{L_i}\times 100$

= $\frac{220-200}{200}\times 100$

= 10%

अतिरिक्त जानकारी

संपीड़क और तन्य भार के तहत छड़ में दीर्घीकरण (P)

दीर्घीकरण (δ) = $\frac{PL}{AE}$

जहाँ,

P = तन्य या संपीड़क भार, L = छड़ की प्रारंभिक लंबाई, A = बार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, E = प्रत्यास्थता का मापांक।

अवधारणा:

केबल का दीर्घीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

L = $\frac{PL}{AE}$

E = प्रत्यास्थ मापांक, P = लागू भार, L = केबल की लंबाई

A = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, δL = दीर्घीकरण

स्पष्टीकरण:

दिया हुआ है कि:

E = 200 GPa = 200 × 109 Pa

P = 500π N, L = 10 m

A = $\frac{\pi }{4}\times (\frac{2}{100}{)}^2$ m2 

∴ δL = $\frac{PL}{AE}$

= $\frac{500\pi \times 10}{\frac{\pi }{4}\times (\frac{2}{100}{)}^2\times 200\times {10}^9}$

= $\frac{1}{4000}$ m = 0.025 cm

संकल्पना:

छड़ का दीर्घीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\Delta =\frac{PL}{AE}$

जहाँ, P = अक्षीय खिंचाव, L = छड़ की लंबाई, A = छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल

E = छड़ की प्रत्यास्थता का मापांक

गणना:

दिया गया है,

P = 3000 kg, छड़ का व्यास (d) = 2 cm

L = 5 m, E = 2.1 × 106 kg/cm2

छड़ के क्षेत्रफल का अनुप्रस्थ काट, A = $\frac{\pi }{4}\times 2\times 2=3.14c{m}^2$

छड़ का दीर्घीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है, $\Delta =\frac{PL}{AE}$

⇒ $\Delta =\frac{3000\times 5\times 100}{3.14\times 2.1\times {10}^6}$

Δ = 0.2275 cm