Asymptotic Stability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Asymptotic Stability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 15, 2025
Latest Asymptotic Stability MCQ Objective Questions
Asymptotic Stability Question 1:
किसी नियंत्रण प्रणाली में, यदि सभी ध्रुव s-समतल के बाईं ओर स्थित हैं, तो प्रणाली कैसी होगी?
Answer (Detailed Solution Below)
Asymptotic Stability Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
नियंत्रण प्रणालियों में स्थायित्व
परिभाषा: नियंत्रण प्रणालियों में, स्थायित्व किसी प्रणाली की अपनी स्थिति बनाए रखने या किसी विक्षोभ का अनुभव करने के बाद वांछित स्थिति में वापस आने की क्षमता को संदर्भित करता है। एक सीमित इनपुट के अधीन होने पर एक स्थिर प्रणाली समय के साथ असीमित आउटपुट प्रदर्शित नहीं करेगी। नियंत्रण प्रणालियों के उचित कामकाज के लिए स्थायित्व एक मौलिक आवश्यकता है।
ध्रुव और s-समतल: एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) नियंत्रण प्रणाली के स्थायित्व का विश्लेषण इसके स्थानांतरण फलन का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसे आमतौर पर लाप्लास रूपांतरण डोमेन में जटिल आवृत्ति (s) के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। स्थानांतरण फलन के ध्रुव s के वे मान हैं जो हर को शून्य बनाते हैं। जटिल s-समतल में इन ध्रुवों का स्थान प्रणाली के स्थायित्व को निर्धारित करता है।
स्थायित्व के लिए शर्तें:
- s-समतल के बाएँ आधे भाग में सभी ध्रुव: यदि किसी स्थानांतरण फलन के सभी ध्रुव s-समतल के बाएँ आधे भाग में स्थित हैं (अर्थात, उन सभी के ऋणात्मक वास्तविक भाग हैं), तो एक प्रणाली स्थिर होती है। यह सुनिश्चित करता है कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ क्षय हो जाएगी, जिससे एक सीमित आउटपुट प्राप्त होगा।
- s-समतल के दाएँ आधे भाग में ध्रुव: यदि कोई ध्रुव s-समतल के दाएँ आधे भाग में स्थित है (अर्थात, इसका एक धनात्मक वास्तविक भाग है), तो प्रणाली अस्थिर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस तरह के ध्रुव से जुड़ी प्रतिक्रिया समय के साथ तेजी से बढ़ेगी, जिससे एक असीमित आउटपुट प्राप्त होगा।
- काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव: यदि ध्रुव काल्पनिक अक्ष पर ठीक स्थित हैं (अर्थात, उनके वास्तविक भाग शून्य हैं), तो प्रणाली सीमांत रूप से स्थिर है। इस मामले में, प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, और आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा।
सही विकल्प विश्लेषण:
सही विकल्प है:
विकल्प 1: स्थायी
यदि सभी ध्रुव s-समतल के बाईं ओर स्थित हैं, तो प्रणाली स्थिर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ध्रुवों के ऋणात्मक वास्तविक भाग यह सुनिश्चित करते हैं कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ तेजी से घटेगी, जिससे एक सीमित आउटपुट प्राप्त होगा। स्थायित्व किसी भी नियंत्रण प्रणाली के लिए एक महत्वपूर्ण विशेषता है, क्योंकि यह पूर्वानुमेय और विश्वसनीय प्रदर्शन सुनिश्चित करता है।
अतिरिक्त जानकारी
विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:
विकल्प 2: दोलनशील
यह विकल्प s-समतल के काल्पनिक अक्ष पर स्थित ध्रुवों वाली प्रणाली का वर्णन करता है। ऐसे मामले में, प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, और आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा। इस परिदृश्य को सीमांत स्थायित्व के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालाँकि, प्रणाली को सख्ती से स्थिर होने के लिए, सभी ध्रुवों को s-समतल के बाएँ आधे भाग में होना चाहिए।
विकल्प 3: अस्थिर
यह विकल्प s-समतल के दाएँ आधे भाग में एक या अधिक ध्रुवों वाली प्रणाली का वर्णन करता है। धनात्मक वास्तविक भाग वाले ध्रुव प्रणाली की प्रतिक्रिया को समय के साथ तेजी से बढ़ाते हैं, जिससे एक असीमित आउटपुट प्राप्त होता है। ऐसी प्रणाली को अस्थिर माना जाता है और यह अपनी स्थिति को विश्वसनीय रूप से बनाए नहीं रख सकती है।
विकल्प 4: सीमांत रूप से स्थायी
यह विकल्प तब लागू होता है जब प्रणाली में ध्रुव s-समतल के काल्पनिक अक्ष पर ठीक स्थित होते हैं। एक सीमांत रूप से स्थिर प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, यह दर्शाता है कि आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा। यह सख्ती से स्थिर नहीं है, क्योंकि आउटपुट स्थिर अवस्था में परिवर्तित नहीं होता है।
निष्कर्ष:
s-समतल में ध्रुवों के स्थान को समझना नियंत्रण प्रणालियों के स्थायित्व का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है। एक प्रणाली को स्थिर माना जाता है यदि इसके सभी ध्रुव s-समतल के बाएँ आधे भाग में स्थित हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ घटती है और सीमित रहती है। इसके विपरीत, s-समतल के दाएँ आधे भाग में ध्रुव अस्थिरता का संकेत देते हैं, जबकि काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव सीमांत स्थायित्व का परिणाम देते हैं। ध्रुव स्थानों का ठीक से विश्लेषण करने से नियंत्रण प्रणालियों को डिजाइन करने में मदद मिलती है जो उनके प्रदर्शन में विश्वसनीय और पूर्वानुमेय हैं।
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Asymptotic Stability Question 2:
किसी नियंत्रण प्रणाली में, यदि सभी ध्रुव s-समतल के बाईं ओर स्थित हैं, तो प्रणाली कैसी होगी?
Answer (Detailed Solution Below)
Asymptotic Stability Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
नियंत्रण प्रणालियों में स्थायित्व
परिभाषा: नियंत्रण प्रणालियों में, स्थायित्व किसी प्रणाली की अपनी स्थिति बनाए रखने या किसी विक्षोभ का अनुभव करने के बाद वांछित स्थिति में वापस आने की क्षमता को संदर्भित करता है। एक सीमित इनपुट के अधीन होने पर एक स्थिर प्रणाली समय के साथ असीमित आउटपुट प्रदर्शित नहीं करेगी। नियंत्रण प्रणालियों के उचित कामकाज के लिए स्थायित्व एक मौलिक आवश्यकता है।
ध्रुव और s-समतल: एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) नियंत्रण प्रणाली के स्थायित्व का विश्लेषण इसके स्थानांतरण फलन का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसे आमतौर पर लाप्लास रूपांतरण डोमेन में जटिल आवृत्ति (s) के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। स्थानांतरण फलन के ध्रुव s के वे मान हैं जो हर को शून्य बनाते हैं। जटिल s-समतल में इन ध्रुवों का स्थान प्रणाली के स्थायित्व को निर्धारित करता है।
स्थायित्व के लिए शर्तें:
- s-समतल के बाएँ आधे भाग में सभी ध्रुव: यदि किसी स्थानांतरण फलन के सभी ध्रुव s-समतल के बाएँ आधे भाग में स्थित हैं (अर्थात, उन सभी के ऋणात्मक वास्तविक भाग हैं), तो एक प्रणाली स्थिर होती है। यह सुनिश्चित करता है कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ क्षय हो जाएगी, जिससे एक सीमित आउटपुट प्राप्त होगा।
- s-समतल के दाएँ आधे भाग में ध्रुव: यदि कोई ध्रुव s-समतल के दाएँ आधे भाग में स्थित है (अर्थात, इसका एक धनात्मक वास्तविक भाग है), तो प्रणाली अस्थिर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस तरह के ध्रुव से जुड़ी प्रतिक्रिया समय के साथ तेजी से बढ़ेगी, जिससे एक असीमित आउटपुट प्राप्त होगा।
- काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव: यदि ध्रुव काल्पनिक अक्ष पर ठीक स्थित हैं (अर्थात, उनके वास्तविक भाग शून्य हैं), तो प्रणाली सीमांत रूप से स्थिर है। इस मामले में, प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, और आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा।
सही विकल्प विश्लेषण:
सही विकल्प है:
विकल्प 1: स्थायी
यदि सभी ध्रुव s-समतल के बाईं ओर स्थित हैं, तो प्रणाली स्थिर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ध्रुवों के ऋणात्मक वास्तविक भाग यह सुनिश्चित करते हैं कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ तेजी से घटेगी, जिससे एक सीमित आउटपुट प्राप्त होगा। स्थायित्व किसी भी नियंत्रण प्रणाली के लिए एक महत्वपूर्ण विशेषता है, क्योंकि यह पूर्वानुमेय और विश्वसनीय प्रदर्शन सुनिश्चित करता है।
अतिरिक्त जानकारी
विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:
विकल्प 2: दोलनशील
यह विकल्प s-समतल के काल्पनिक अक्ष पर स्थित ध्रुवों वाली प्रणाली का वर्णन करता है। ऐसे मामले में, प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, और आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा। इस परिदृश्य को सीमांत स्थायित्व के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालाँकि, प्रणाली को सख्ती से स्थिर होने के लिए, सभी ध्रुवों को s-समतल के बाएँ आधे भाग में होना चाहिए।
विकल्प 3: अस्थिर
यह विकल्प s-समतल के दाएँ आधे भाग में एक या अधिक ध्रुवों वाली प्रणाली का वर्णन करता है। धनात्मक वास्तविक भाग वाले ध्रुव प्रणाली की प्रतिक्रिया को समय के साथ तेजी से बढ़ाते हैं, जिससे एक असीमित आउटपुट प्राप्त होता है। ऐसी प्रणाली को अस्थिर माना जाता है और यह अपनी स्थिति को विश्वसनीय रूप से बनाए नहीं रख सकती है।
विकल्प 4: सीमांत रूप से स्थायी
यह विकल्प तब लागू होता है जब प्रणाली में ध्रुव s-समतल के काल्पनिक अक्ष पर ठीक स्थित होते हैं। एक सीमांत रूप से स्थिर प्रणाली निरंतर दोलन प्रदर्शित करेगी, यह दर्शाता है कि आउटपुट समय के साथ न तो बढ़ेगा और न ही घटेगा। यह सख्ती से स्थिर नहीं है, क्योंकि आउटपुट स्थिर अवस्था में परिवर्तित नहीं होता है।
निष्कर्ष:
s-समतल में ध्रुवों के स्थान को समझना नियंत्रण प्रणालियों के स्थायित्व का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है। एक प्रणाली को स्थिर माना जाता है यदि इसके सभी ध्रुव s-समतल के बाएँ आधे भाग में स्थित हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ घटती है और सीमित रहती है। इसके विपरीत, s-समतल के दाएँ आधे भाग में ध्रुव अस्थिरता का संकेत देते हैं, जबकि काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव सीमांत स्थायित्व का परिणाम देते हैं। ध्रुव स्थानों का ठीक से विश्लेषण करने से नियंत्रण प्रणालियों को डिजाइन करने में मदद मिलती है जो उनके प्रदर्शन में विश्वसनीय और पूर्वानुमेय हैं।