Application of Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है:  &  और

,  पर का प्रतिबिंब है। 

साथ ही,  और से होकर गुजरता है। 

इस प्रकार परिबद्ध क्षेत्र

⇒  48A = 10

गणना:

दिया गया है,

वक्र का समीकरण y = 4x है, और रेखा x = 4 वक्र को बिंदु (4, 16) पर प्रतिच्छेद करती है। हमें वक्र, x-अक्ष और रेखा x = 4 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

ध्यान का क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार x-अक्ष के साथ x = 0 से x = 4 तक है और ऊँचाई 16 इकाई है, जो बिंदु (4, 16) के संगत है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

आधार (4 इकाई) और ऊँचाई (16 इकाई) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

∴ क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

(x, f(x)) पर वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा का ढाल प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए 4 है, और वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

स्पर्श रेखा का ढाल फलन का अवकलज है, इसलिए हमारे पास है:

x के सापेक्ष f'(x) = 4 का समाकलन करने पर:

वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है, इसलिए जब x = 0, y = 0 है। इन मानों को समीकरण f(x) = 4x + C में प्रतिस्थापित करने पर:

इसलिए, वक्र का समीकरण है:

यह मूलबिंदु से होकर गुजरने वाली, 4 के ढाल वाली एक सरल रेखा का समीकरण है।

∴ वक्र एक सरल रेखा है जिसका ढाल 4 है और जो मूलबिंदु से होकर गुजरती है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

• इस प्रश्न में असमिकाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना शामिल है।
• असमिकाएँ y = 1/x, 5x − 4y − 1 = 0, 4x + 4y − 17 = 0 और x-अक्ष द्वारा परिबद्ध एक क्षेत्र बनाती हैं।
• क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम:
  • दी गई वक्रों और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
  • क्षेत्र को सरल क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: त्रिभुज और समाकल।
  • वक्र y = 1/x के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन का उपयोग करते हैं।
• 1/x का समाकलन: x के सापेक्ष 1/x का समाकलन log_ex है।
• अंतिम क्षेत्रफल परिकलित त्रिभुजाकार क्षेत्रों और निश्चित समाकलों का एक संयोजन होगा।

परिकलन:

दिया गया है,

x > 0, y > 1/x, 5x − 4y − 1 > 0, 4x + 4y − 17

प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और y = 1/x (1, 1) पर मिलते हैं

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और 4x + 4y − 17 = 0 (2, 1.25) पर मिलते हैं

⇒ 4x + 4y − 17 = 0 और y = 1/x (4, 0.25) पर मिलते हैं

क्षेत्र को विभाजित करें:

शीर्षों (1,1), (2,1.25), (4,0.25) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

x = 1 और x = 4 के बीच y = 1/x के नीचे का क्षेत्र

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 1.5) x (ऊँचाई 4/3)

⇒ 1/2 x 3/2 x 4/3 = 1

अब, दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 2) x (ऊँचाई 10/4)

⇒ 1/2 x 2 x 2.5 = 2.5

अब वक्र y = 1/x के नीचे के क्षेत्रफल को घटाएँ:

∫₁⁴ (1/x) dx = log_e4

सभी क्षेत्रफलों को जोड़ें:

कुल क्षेत्रफल = 1 + 2.5 − log_e4

कुल क्षेत्रफल = 33/8 − log_e4

∴ इसलिए, दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल 33/8 − log_e4 है।

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

गणना:

2y = 5x² और y = x² + 6 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज ± 2 है।

⇒ 

⇒ α³ = 600

इसलिए, सही उत्तर 600 है। 

संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = 

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = 

गणना:

यहाँ, x² = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x² = 1

x = 1 और -1

अब, 

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

 वर्ग इकाई I

अवधारणा:

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y =  और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = 

⇒ 0 = 

⇒ 16 - x² = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

चूँकि, वक्र y =  है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A 

हम जानते हैं कि,

=  

= 

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

गणना:

संलग्न क्षेत्र

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल 

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए। 

• इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है। 
• यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।

इसलिए, 

गणना:

दिया गया वक्र: x = 4 - y2

⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)

उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,

हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0

⇒ y2 = 4 - x

⇒ y2 = 4 - 0 = 4

⇒ y = ± 2

⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। 

वक्र के तहत क्षेत्रफल  

 वर्ग इकाई

दिया गया है:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

संकल्पना​:

दो वक्रों y₁ और y₂ के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर 

गणना:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

तब 3x² = x² + 4

⇒ x² = 2

⇒ x = ± √ 2

तब क्षेत्रफल है

 वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है

आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें

प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = =

वृत्त का क्षेत्रफल = 4 ×

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = 

जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।

गणना:

f(x) = y = 4x³

दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3

वक्र का क्षेत्रफल (A) =

⇒ A = 

⇒ A = 

⇒ A = 

⇒ A = 

⇒ A = 97

Additional Information

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = + C ; n ≠ -1
•  + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C 

व्याख्या:

दिए गए वक्र y = x - 1 और y² = 2x + 6 हैं। 

इन्हे हल करने पर हमें प्राप्त होगा,

y² = 2(y + 1) + 6

⇒ y² - 2y - 8 = 0

⇒ (y - 4)(y + 2) = 0

⇒ y = -2, 4

अब, हम निम्न के द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं

A = 

= 

= 

= 

∴ A = 18

स्पष्टीकरण:

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं

y = x² --- (1) और y = 16 --- (2)

दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:

x² = 16

x = 4, -4

∴ प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।

आकृति से हमारे पास है

समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है

Alternate Method

एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,

क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:

क्षेत्रफल =

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए। 

इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है। 

हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

∴ क्षेत्रफल =  

गणना:

यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है। 

इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

चूँकि हम जानते हैं कि,

क्षेत्रफल = 

= 

= 

क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई