Adjoint and Inverse of a Square Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Adjoint and Inverse of a Square Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

${\mathrm{AA}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{10}}& \frac{3}{\sqrt{10}}\\ \frac{-3}{\sqrt{10}}& \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{10}}& \frac{-3}{\sqrt{10}}\\ \frac{3}{\sqrt{10}}& \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

${\mathrm{B}}^2=\left[\begin{array}{cc}1& -\mathrm{i}\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -\mathrm{i}\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -2\mathrm{i}\\ 0& 1\end{array}\right]$

${\mathrm{B}}^3=\left[\begin{array}{cc}1& -3\mathrm{i}\\ 0& 1\end{array}\right]$

.

.

.

${\mathrm{B}}^{2023}=\left[\begin{array}{cc}1& -2023\mathrm{i}\\ 0& 1\end{array}\right]$

M = A^TBA

M² = M.M = A^TBA A^TBA = A^TB²A

M³ = M².M = A^TB²AA^TBA = A^TB³A

.

.

.

M²⁰²³ = …………… A^TB²⁰²³A

AM²⁰²³A^T = AA^TB²⁰²³ AA^T = B²⁰²³

$=\left[\begin{array}{cc}1& -2023\mathrm{i}\\ 0& 1\end{array}\right]$

(AM²⁰²³A^T) का व्युत्क्रम $\left[\begin{array}{cc}1& 2023\mathrm{i}\\ 0& 1\end{array}\right]$ है

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है

सिद्धांत:

आव्यूह के सहखंडज का सारणिक:

• यदि $A$ कोटि $n$ का एक वर्ग आव्यूह है, तब:
• $|\text{adj}(A)|=|A{|}^{n-1}$
• $|\text{adj}(\text{adj}(A))|=|A{|}^{(n-1{)}^2}$
• $\text{adj}(A^2)=(\text{adj}(A){)}^2$ यदि $A$ व्युत्क्रमणीय है
• इसलिए, $|\text{adj}(\text{adj}(A^2))|=|\text{adj}((\text{adj}(A){)}^2)|=|\text{adj}(B^2)|$ जहाँ $B=\text{adj}(A)$
• प्रयोग करके $|\text{adj}(B^2)|=|B^2{|}^{n-1}=(|B{|}^2{)}^{n-1}=|B{|}^{2(n-1)}$
• साथ ही, $|B|=|\text{adj}(A)|=|A{|}^{n-1}$

आव्यूह सारणिक:

• $|A|$ आव्यूह $A$ के अदिश सारणिक मान को दर्शाता है
• यदि $A$ 3 × 3 है, तब $|\text{adj}(\text{adj}(A^2))|=|A{|}^{2(n-1{)}^2}=|A{|}^8$

गणना:

दिया गया है,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& {\log }_{x}y& {\log }_{x}z\\ {\log }_{y}x& 2& {\log }_{y}z\\ {\log }_{z}x& {\log }_{z}y& 3\end{array}\right]$

मान लीजिये $a={\log }_{x}y,b={\log }_{x}z,c={\log }_{y}z$

⇒ ${\log }_{y}x=\frac{1}{a},{\log }_{z}x=\frac{1}{b},{\log }_{z}y=\frac{1}{c}$

⇒ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& a& b\\ \frac{1}{a}& 2& c\\ \frac{1}{b}& \frac{1}{c}& 3\end{array}\right]$

⇒ $|A|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& c\\ \frac{1}{c}& 3\end{array}\right|-a\cdot \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{a}& c\\ \frac{1}{b}& 3\end{array}\right|+b\cdot \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{a}& 2\\ \frac{1}{b}& \frac{1}{c}\end{array}\right|$

⇒ $|A|=(6-1)-a(\frac{3}{a}-\frac{c}{b})+b(\frac{1}{ac}-\frac{2}{b})$

⇒ $|A|=5-(3-\frac{ac}{b})+(\frac{b}{ac}-2)$

⇒ $|A|=\frac{ac}{b}+\frac{b}{ac}$

मानों का प्रयोग करके: $x=2,y=4,z=8\Rightarrow a=2,b=3,c=\frac{3}{2}$

⇒ $|A|=\frac{2\times \frac{3}{2}}{3}+\frac{3}{2\times \frac{3}{2}}=1+1=2$

आव्यूह कोटि $n=3$ का है

⇒ $|\text{adj}(\text{adj}(A^2))|=|A{|}^{2(n-1{)}^2}=2^{2\times 4}=2^8$

∴ इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है।

व्याख्या:

दिया गया है

⇒ $adj(A)=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -2& 3& -4\\ -2& 3& -3\end{array}\right]$

अब, A^-1 = $\frac{1}{|A|}(Adj(A))$

= $\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -2& 3& -4\\ -2& 3& -3\end{array}\right]$

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}3& -3& 4\\ 2& -3& 4\\ 0& -1& 1\end{array}\right]$

अब, |A| = 3(-3 + 4) -2(-3 + 4) + 0 = 3 - 2 = 1

A(adjA) = |A| I = I

इसलिए, विकल्प (d) सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

विकर्ण आव्यूह का व्युत्क्रम मूल विकर्ण तत्वों के व्युत्क्रम वाला विकर्ण आव्यूह होता है।

गणना:

दिया गया है:

A = $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

⇒ A⁻¹ = $\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right]$

A⁻¹ के सभी अवयवों का योग = $\frac{1}{2}+0+0+0+1+0+0+0+\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{2}+1+\frac{1}{3}=\frac{3+6+2}{6}=\frac{11}{6}$

अतः विकल्प 4 सही है। 

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})}{|\mathrm{A}|}$
• |A-1| = |A|-1 = $\frac{1}{|\mathrm{A}|}$

गणना:

${\mathrm{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{array}\right]=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})}{\mathrm{k}}$         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})}{|\mathrm{A}|}$              -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| = $\frac{1}{|{\mathrm{A}}^{-1}|}$         -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = $-\frac{1}{15}$

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = $\frac{1}{|{\mathrm{A}}^{-1}|}$

गणना:

दिया हुआ: $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}x& 2\\ 4& 3\end{array}\right]$ और ${\mathrm{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{8}& \frac{-1}{12}\\ \frac{-1}{6}& \frac{4}{9}\end{array}\right]$

|A^-1| = $\frac{4}{72}-\frac{1}{72}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}$

|A| = $\frac{1}{|{\mathrm{A}}^{-1}|}$ = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = $\frac{32}{3}$

अवधारणा:

आव्यूह व्युत्क्रम के गुण:

यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो व्युत्क्रम आव्यूह में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

• (AB) - 1 = B - 1 A - 1
• (A - 1) - 1 = A
• (AT) - 1 = (A - 1)T
• (KA -1 ) =  किसी भी K ≠ 0 के लिए $\frac{1}{\mathrm{k}}{\mathrm{A}}^{-1}$ 
• (An) - 1 = (A - 1)n
• AA - 1 = A - 1A = I

गणना:

दिया गया है: A2 - 2A - I = 0

⇒ A.A - 2A = I

A-1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ AAA-1 - 2AA-1 = IA-1

⇒ AI - 2I = A-1             [∵ AA - 1 = A - 1A = I]

∴ A-1 = A - 2

A का व्युत्क्रम A - 2 है

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})}{|\mathrm{A}|}$ 
• |A-1| = |A|-1 = $\frac{1}{|\mathrm{A}|}$ 

गणना:

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, ${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{\left|\mathrm{A}\right|}$

दोनों पक्षों को A से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

A(A-1) = $\frac{\mathrm{A}[\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})]}{|\mathrm{A}|}$

⇒ |A| I = A[adj(A)]

लेकिन यह दिया जाता है कि A एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अर्थात |A| = 0

∴ A[adj(A)] = 0, या A[adj(A)] एक शून्य आव्यूह है।

संकल्पना:

यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है तो | A | = 0 है। 

यदि आव्यूह A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो | A | ≠ 0 है। 

गणना:

दिया गया है, A = $\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ 2& -8& 5\\ 4& 2& \lambda \end{array}\right]$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि आव्यूह A गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो | A | = 0 है। 

⇒ $\left|\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ 2& -8& 5\\ 4& 2& \lambda \end{array}\right|$ = 0

⇒ 1$(-8\lambda -10)+3(2\lambda -20)+2(4+32)$ = 0

⇒ $-8\lambda -10+6\lambda -60+72=0$

⇒$-2\lambda +2=0$

⇒$\lambda =1$

अतः यदि $\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ 2& -8& 5\\ 4& 2& \lambda \end{array}\right]$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है, तो λ का मान 1 है। 

अवधारणा:

सारणिक:

• दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह A और B के लिए हमारे पास: det(A × B) = det(A) × det(B) है, जिसे |A × B| = |A| × |B| के रूप में भी लिखा जा सकता है। 
• |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

गणना:

हम जानते हैं कि |adj(A)| = |A|n - 1, जहाँ n वर्ग आव्यूह A की कोटि है।

अब, |A × adj(A)| = |A × |A|n - 1| = |A|n

दिए गए आव्यूह A की कोटि n = 3 है और |A| = 4

∴ |A × adj(A)| = |A|n = 43 = 64

संकल्पना:

माना कि A एक प्रतीप्य आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं, AA^-1 = I

$\Rightarrow \mathrm{A}\times \left(\frac{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{A}}{det\mathrm{A}}\right)=\mathrm{I}$

⇒ A (Adj A) = det A × I = |A|I

गणना:

दिया गया है: A(adj A) $=\left[\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& 10\end{array}\right]$

⇒ A(adj A) $=10\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=10\mathrm{I}$

चूँकि हम जानते हैं A (Adj A) = det A × I

∴ det A = |A| = 10

संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह:

• एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह वह आव्यूह है जिसका 'गुणनात्मक व्युत्क्रम' मौजूद नहीं है। अर्थात् A × A^-1 ≠ I
• एक आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि इसकी सारणिक शून्य होती है। अर्थात् |A| = 0

​

गणना:

आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए इसकी सारणिक को शून्य होना चाहिए। 

$|\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 5& 1& \mathrm{x}\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0$

⇒ 1(1 × 1 - 1 × x) + 0(1 × x - 1 × 5) + 2(5 × 1 - 1 × 1) = 0

⇒ 1 - x + 0 + 8 = 0

⇒ x = 9

संकल्पना:

एक आव्यूह A पर विचार करें और मानें इसका व्युत्क्रम A^-1 है

${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\mathrm{A}\right)}$

यहाँ; adj (A) आव्यूह A का अभिसंयुक्त है और det (A) आव्यूह A का सारणिक है।

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।

⇒ यदि det (A) = 0 है तो आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

गणना:

दिया गया है A = $\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 4& 2& 1\\ 2& a& 1\end{array}\right]$

A-1 मौजूद न होने के लिए |A| = 0

|A| = $\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 4& 2& 1\\ 2& a& 1\end{array}\right|$ = 0

|A| = 3(2 - a) - 1(4 - 2) + 2(4a - 4)

|A| = 6 - 3a - 2 + 8a - 8

|A| = 5a - 4

|A| = 0

5a - 4 = 0

∴ a = $\frac{4}{5}$

धारणा

यदि A कोटि n का कोई आव्यूह है और इसका व्युत्क्रम मौजूद है तो हम लिख सकते हैं

AA^-1 = A^-1A = I, जहाँ I = कोटि n का तत्समक आव्यूह

गणना

दिया हुआ: A कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है यानी A = I

दोनों पक्षों को A^-1 से गुणा करके हमें प्राप्त होता है

⇒ AA^-1 = IA^-1

⇒ I = A^-1 [∵ तत्समक आव्यूह द्वारा गुणा किया जाने वाला आव्यूह स्वयं आव्यूह  है यानी AI = A]